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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
einer solchen werden also durch eine biquadratische Gleichung für x
bestimmt. Umgekehrt kommt die Auflösung einer biquadratischen
Gleichung
ax¹+4bx³+6cx²+4dx + e = 0
zurück auf die Auffindung der Doppelpunkte, z. B. der bi-quadratischen
Projektivität
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a x²x²²+2b (x²x² + x²²x) + c(x²+22xx' + x²²)+2d(x+x')+e=0,
die wir symmetrisch, also involutorisch, gewählt haben und die noch
einen willkürlichen Parameter 2 enthält. Eine solche ist offenbar
durch fünf Paare entsprechender Punkte bestimmt.
Es sei jetzt y = x² die Gleichung eines gezeichnet vorliegenden
Kegelschnittes, f(x, y) = 0 die Gleichung eines zweiten Kegelschnitts.
Jede Tangente des zweiten trifft den ersten in zwei Punkten (x, y),
(x', y'); projiziert man diese von B aus auf [AC] (y=0), so erhält
man zwischen den Punkten P(x, 0), P′(x', 0) eine bi-quadratische In-
volution. Umgekehrt bestimmen je zwei entsprechende Punkte einer
solchen Involution, von B aus auf den Kegelschnitt projiziert, je eine
Tangente eines Kegelschnittes. Ist also auf [AC] eine solche In-
volution durch fünf Paare entsprechender Punkte gegeben, so erhält
man den Kegelschnitt f(x, y) = 0 durch fünf Tangenten; seine vier
Schnittpunkte mit dem gezeichnet vorliegenden ergeben auf [AC]
projiziert die vier gesuchten Doppelpunkte.¹) Der Parameter 2 kann
benutzt werden, um den Kegelschnitt f(x, y) = 0 einschränkenden Be-
dingungen zu unterwerfen.
Eine trilineare Projektivität zwischen Punkten P(x), P'(x),
P"(x") einer Geraden wird durch eine in x sowohl wie in x' und
in x" lineare Gleichung definiert. Die Tripelpunkte
PP' P" (x = x'=x")
=
einer solchen werden also durch eine kubische Gleichung für x be-
stimmt. Umgekehrt kommt die Auflösung einer kubischen Gleichung
ax³+3bx+3cx + d = 0
zurück auf die Auffindung der Tripelpunkte z. B. der trilinearen
symmetrischen oder involutorischen Projektivität:
a x x'x'' + b (xx' + xx" + x'x') + c(x + x' + x') + d = 0.
Eine solche ist offenbar durch drei Tripel zusammengehöriger Punkte
bestimmt. Projiziert man sie auf den gegebenen Kegelschnitt, so
1) Ähnlich, aber unsymmetrischer bei Chasles (C. R. 41, 1855, p. 677),
der eine bi-quadratische Projektivität annimmt.