Kapitel I. Projektive kubische Konstruktionen.
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Der Würfelvervielfachung entspricht die Annahme von vier
reellen Punkten I, J, K, N, der Winkeldreiteilung die Annahme, daß
I, J konjugiert imaginäre Punkte sind. Natürlich folgen die Lösungen
dieser Aufgaben aus der oben gegebenen Lösung einer allgemeinen
biquadratischen Gleichung. Aber es gibt Lösungen, die diesen Auf-
gaben besonders angepaßt sind.
Wir werden später bei den metrischen kubischen Aufgaben solche
Lösungen dieser Aufgaben angeben, welche fast unmittelbar projektiv
zu verallgemeinern sind und dadurch
die Lösungen der obigen zwei Aufgaben
ergeben.
Mit Rücksicht auf S. 49 läßt die Auf-
gabe sich als projektive Bogendreiteilung
auffassen: der Kegelschnittbogen KN
soll triseziert werden in bezug auf [IJ],
heißt: es sollen die Punkte L, M so
konstruiert werden, daß die Tangente
in L durch ([KM][IJ]), die Tangente
in M durch ([LN][IJ]) geht, oder
was dasselbe ist, daß ([OL][KM]) der
vierte harmonische zu K, M, P, und daß ([OM][LN]) der vierte
harmonische zu L, N, Q ist.
Zu beweisen: Die projektiven kubischen Aufgaben sind lösbar,
wenn ein Kegelschnitt gezeichnet vorliegt und außerdem solche Kegel-
schnitte gezeichnet werden können, welche einen bestimmten Kegel-
schnitt doppelt berühren.
Ebenso: Wenn nur Kegelschnitte verwendet werden dürfen, deren
jeder einem gegebenen Büschel angehört.
Die drei Doppelpunkte einer ebenen Projektivität zu bestimmen,
die durch hinreichend viele einander entsprechende Punkte und Ge-
raden gegeben ist.
Punkte und Tangenten des Kernkegelschnitts einer ebenen Rezi-
prozität zu konstruieren, die durch hinreichend viele einander ent-
sprechende Punkte und Geraden gegeben ist.
Die vier Grundpunkte einer Polarität in bezug auf ein Kegel-
schnittbüschel (Steinersche Verwandtschaft) zu konstruieren, die durch
hinreichend viele einander entsprechende Punkte gegeben ist.
Die vier Grundgeraden einer Polarität in bezug auf eine Kegel-
schnittschar zu konstruieren, die durch hinreichend viele einander
entsprechende Geraden gegeben ist.
Eine bi-quadratische Projektivität zwischen den Punkten P(x)
und P'(x) einer Geraden wird durch eine in x sowohl wie in x'
quadratische Gleichung definiert. Die Doppelpunkte P = P' (x = x′)