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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
wäre also bereits quadratisch lösbar. Zusammenfassend haben wir
den Satz:
Eine nicht durch Quadratwurzeln auflösbare, sonst beliebige biqua-
dratische Gleichung läßt sich durch eine bloß quadratisch-irrationale
affine Substitution
t || kt + σ
in eine Gleichung transformieren, welche durch einen gezeichnet vor-
liegenden und einen durch zwei bestimmte Punkte gehenden Kegelschnitt
gelöst wird, von dem weitere Punkte quadratisch konstruierbar sind.
Da im vorhergehenden immer A0 angenommen werden mußte,
so muß man zur Auflösung einer kubischen Gleichung
At+B+Ct + D = 0
diese als biquadratische At+ Bts + Ct² + Dt + E0 mit E = 0
ansehen.
In dem vorliegenden Beweis dieses Hauptsatzes aus der Theorie
der kubischen Konstruktionen ist für den gezeichnet gegebenen Kegel-
schnitt die Gleichung
y² = px — qx²
-
zugrunde gelegt worden. Wir könnten einen zweiten Beweis führen,
in dem diese Gleichung in der Form
ax² + by²+ c = 0
angenommen wird, die der Annahme eines Poltripels des gezeichnet
gegebenen Kegelschnitts als Koordinatendreieck ABC entspricht. Bei
den metrischen kubischen Konstruktionen werden wir einen solchen
Beweis angeben, der sich dann leicht projektiv verallgemeinern läßt.
Daß von dem Kegelschnitt nur ein Stück gegeben zu sein braucht,
beweist Smith.¹) Einen elementaren Beweis für den metrischen Fall
geben wir weiter unten; er läßt sich leicht projektiv verallgemeinern.
Aufgaben: Den bei den metrischen Konstruktionen auftretenden
kubischen Aufgaben der Würfelvervielfachung und der Winkeldrei-
teilung entspricht hier die Aufgabe, zu den auf einer Geraden ge-
K
L
N
gebenen Punkten I, J, K, N den Punkt L so zu konstruieren, daß
(IJKL)³ = (IJKN)
ist, und die duale im Strahlbüschel.
1) Mémoire sur quelques problèmes cubiques et biquadratiques. Annali di
Math. (2) 3, (1868) 112–165, 218—242 = - Papers II, p. 1.