Kapitel I. Projektive kubische Konstruktionen.
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bestimmt. Damit dieser Wert für k endlich, nicht verschwindend
und reell ist, muß
BDa > 0
sein. Ist das nicht der Fall, so kann man es vorweg durch eine
Substitution
erreichen, wodurch BD in
tt + r
(B+4At) (D+2 Cr+3 Br² +4 At³)
übergeht; diese wegen A0 sicher nicht identisch verschwindende
biquadratische Funktion von hat die reelle Nullstelle
1
B
τ
=
4 A
"
B
nimmt also für Werte von in unmittelbarer Nähe von diesem einer-
seits positive, andrerseits negative Werte an, falls nicht = -
zugleich Wurzel der Gleichung
D+2Cr+3 Br² + 4 At³ = 0
ī
4 A
ist. Dann reduziert sich die gegebene Gleichung durch die Substitution
tt auf eine in t quadratische Gleichung von der Form:
At+Ct² + E = 0,
erfordert also zur Auflösung außer dem gezeichnet vorliegenden Kegel-
schnitt nur das Lineal. Es sei also t so gewählt, daß in der trans-
formierten Gleichung BDa positiv ist. Jetzt gehen die Koeffizienten
A, C, E durch die Substitution
t || t
V
√ Ba
D
über in
A₁ =
AD
Ba'
CD
C₁
E₁ = E.
Ba'
Würde jetzt durch das Bestehen der Gleichung:
-
A₁-
das Erfüllen der Bedingung:
C₁
a
+
E
az
=
0
a
A₁-
---
C₁ E
+
1
-
vereitelt, so wäre ja
AD- BCD + EB² = 0,
also zerfiele die Gleichung vor der Substitution t || kť in
(At² + Bt +
BC-AD
(ť²
BAD) (P + D) -0,
=
B