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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
in der Form darstellen:
to
Xx
--
t2,
y=Vx
t2
1+
1+
a
a
Die Werte des Parameters t für die vier Schnittpunkte genügen
also der biquadratischen Gleichung:
(1 +
α
# + B
a
a²
V P² +³² + (p + a + ² 1 ) t² + ß V p • t + y = 0.
•
a
Diese kann durch Wahl von a, B, y mit einer gegebenen biquadra-
tischen Gleichung
At + Bts + Ct² + Dt + E = 0
(in der wir 40 voraussetzen) in Übereinstimmung gebracht werden,
wenn man die drei Unbekannten a, ß, y aus den fünf linearen Glei-
chungen:
α
1+
+ 2/2 = A, p + a +
a
V p
=
=
27
a
Ꭰ
B, BVP-D
=
C, y = E,
Dazu ist es offenbar notwendig und hinreichend,
D, E die zwei Gleichungen:
β
a
berechnen kann.
daß für A, B, C,
D
B
=
0, A
a
-
C E
+
=
1
a
a2
զ
erfüllt sind.
a∞
Demnach muß eine gegebene Gleichung erst so trans-
formiert werden, daß diese beiden Bedingungen erfüllt sind. Für
a = ∞, also q=0 kann man bekanntlich leicht den Bedingungen
genügen, die dann B = 0, A1 lauten. Wir können also weiterhin
a annehmen. Der zweiten Bedingung kann man stets genügen,
indem man alle Koeffizienten mit einem geeigneten von Null ver-
schiedenen Faktor multipliziert; dies würde erstens für q = 1 un-
möglich sein, aber dieser Fall ist auszuschließen, da dann der ge-
zeichnet vorliegende Kegelschnitt auch durch I, J hindurchginge, also
von den vier Schnittpunkten zwei bekannt, also die zwei andern durch.
eine bloß quadratische Konstruktion bestimmbar wären. Es würde
zweitens unmöglich sein, wenn
A
-
C E
+
a a²
0
wäre; diesen Fall werden wir unten erledigen.
Die erste Bedingung erfüllt man vermittels einer Substitution
in der man kaus
Bh3
a
Dk
t || ht,
=
D
k = √ Ba
V
Ва