Kapitel I. Projektive kubische Konstruktionen.
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Zunächst legen wir die Grundpunkte A, B, C, D des Koordinaten-
systems zweckmäßig; nämlich C auf den gezeichnet vorliegenden
Kegelschnitt, B auf [IJ] so, daß [CB] Tangente ist, A auf [IJ] so,
daß ABIJ harmonisch sind. Die Wahl von D erfolgt weiter unten.
Die Tangente in C(0, 0) soll die Gerade [CB] x = 0 sein, das ergibt
nach S. 19, 5, daß d= 0 ist, und weil A zu C konjugiert ist, so ist
f=0. Da der Koeffizient von y nicht Null sein kann, hat die
Gleichung des gezeichnet vorliegenden Kegelschnitts daher die Form
y² = px - qx².
Der Koeffizient p kann nicht Null sein, denn dann bestünde der
Kegelschnitt aus den zwei Geraden y=Vq x. Wir setzen noch
a
=
Р
"
q
so daß für a zwar der Wert 0, aber nicht der Wert
geschlossen ist.
aus-
Jetzt betrachten wir einen beliebigen durch I, J gehenden Kegel-
schnitt, für den also A, B konjugierte Punkte sind. Daraus folgt nach
S. 19, 4, daß der Koeffizient von xy in der Gleichung dieses Kegel-
schnitts gleich Null ist. Nunmehr wählen wir den Punkt D auf der
Geraden [CC] (oder auch [CC"]), wo C', C" das zu A, B und I, J
gemeinsame harmonische Paar ist. Welchen Einfluß hat diese Wahl
von D auf die Form der Gleichung eines durch I, J gehenden Kegel-
schnitts? Da für alle Punkte auf [AB] x = ∞, y = ∞ wird, so er-
gibt sich das Verhältnis von x y für die Schnittpunkte I, J der Ge-
raden [AB] mit dem Kegelschnitt
aus der Gleichung
ax² + by²+c+2dy + 2ex=0
ax²+by²=0.
Andrerseits hat dieses Verhältnis nach S. 13, Z. 11 den Wert
:
=
x:y (ABC'I) bzw. (ABC'J),
2
also x2 y2 den Wert (ABC'I) bzw. (ABC'J), oder nach S. 45
den Wert (ABC'C")=-1. Daraus folgt, daß ab sein muß.
Demnach haben in dem gewählten Koordinatensystem alle durch I, J
gehenden Kegelschnitte von der Geraden [IJ] kann natürlich
abgesehen werden - Gleichungen von der Form:
x² + y²+ ax + By + y = 0.
=
Wir bringen jetzt einen solchen Kegelschnitt zum Schnitt mit
dem gezeichnet vorliegenden
y² = px — qx²,
dessen Punkte wir noch vermittels eines Parameters
t = √p
Vp
.
x
y