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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
P, also der zweite P, d. h. die Gerade [YY] geht immer durch P.
Das Zusammenfallen der Geraden [PX] und [PY] findet also nur
statt, wenn die Gerade [PYY] Tangente des Kegelschnitts wird, und
in diesem Falle wird nach Obigem diese Gerade [PX] = [PY] eine
gemeinsame Tangente beider Kegelschnitte und der Punkt Y=Y
Berührungspunkt der von P an & gelegten Tangenten. Damit ist
die Richtigkeit der obigen Konstruktion bewiesen.
Nunmehr lösen wir auf einem zweiten, zu einem wichtigen
Schlusse führenden Wege die Aufgabe, das Poltripel zu zwei durch
je fünf Punkte gegebenen Kegelschnitten zu finden. Man suche zu
zwei beliebigen Geraden die ihnen in der durch R', " bestimmten
Steinerschen Verwandtschaft entsprechenden Polkegelschnitte und trans-
formiere wie oben projektiv so, daß der eine dieser Polkegelschnitte
in den gezeichnet vorliegenden Kegelschnitt übergeht; der andere
gehe in 2, die beiden Geraden in G, H, die Kegelschnitte in K', K″
über. Das Poltripel von und 2 liefert deren vier Schnittpunkte,
von denen einer der Pol von (GH) ist. Die drei andern geben rück-
wärts transformiert das Poltripel von ' und K".
Man kann das so einrichten, daß 2 durch zwei fest gegebene
Punkte I, J geht. Dazu nehme man von den zwei Geraden zunächst
nur eine, transformiere ihren Polkegelschnitt in K, lege H durch die
Pole von I, J bezüglich K', K"; dann geht 2 durch I und J.
Letzteres ist auch dann noch ausführbar, wenn das Paar I, J
nicht reell, sondern als gemeinsames harmonisches Paar von zwei sich
trennenden Paaren AA', BB' gegeben ist (s. u.).
Daß durch die Einführung der kubischen Fundamentalaufgabe
keine anderen als kubische Irrationalitäten eingeführt werden, ist
offenbar, da die Aufsuchung der vier Schnittpunkte zweier Kegel-
schnitte algebraisch auf eine Gleichung vierten Grades, die Aufsuchung
des gemeinsamen Poltripels auf deren kubische Resolvente führt.
Umgekehrt muß gezeigt werden, daß durch die kubische Funda-
mentalaufgabe alle Doppelverhältnisse konstruierbar werden, deren
Koordinaten kubisch irrational in den gegebenen sind (projektiv
kubisches Netz). Dazu ist zu zeigen, daß eine beliebige Gleichung
dritten oder vierten Grades durch Aufsuchen des Poltripels oder, was
nach Vorhergehendem dasselbe ist, der Schnittpunkte eines gezeichnet
vorliegenden und eines durch fünf Punkte zu legenden Kegelschnitts
aufgelöst werden kann. Diese Möglichkeit werden wir sogar unter
der engeren Annahme dartun, daß der zu konstruierende Kegelschnit
durch zwei fest gegebene Punkte I, J hindurchgeht. Und mit Rück-
sicht auf die später zu machende Anwendung werden wir den Beweis
für den Fall durchführen, daß die Punkte I, J konjugiert imaginär
sind, woraus die Richtigkeit des Satzes für den Fall reeller Punkte
nach dem Ponceletschen Kontinuitätsprinzip folgt (s. S. 52).