Kapitel I. Projektive kubische Konstruktionen.
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schreibt X die Punktreihe G, so dreht sich die eine Polare H' um
den Pol G' von & in einem zur Punktreihe projektiven Strahlen-
büschel; ebenso die andere
Polare "um den anderen
Pol G" in einem projek-
tiven Strahlenbüschel; also
beschreibt Y einen Kegel-
schnitt durch G'G".
Kommt X in den Schnitt-
punkt:
f
P = (&, [QR])
der Geraden & mit der
Polaren von P bezüglich
beider Kegelschnitte, so
&
X
R
kommt Y nach P. Also geht durch P, ebenso durch Q und R.
Es sind X, Y ein Paar konjugierter Punkte in der Steinerschen
Verwandtschaft, ebenso P und P, folglich auch:
Y = ([PX], [P Y])
und X = ([PY], [P X])
nach dem bekannten Satze ¹): „Werden in einem vollständigen Vier-
seit zwei Diagonalen von einem Kegelschnitt harmonisch geschnitten,
dann auch die dritte." Nun liegt offenbar X auf 6, also Y auf R,
d. h. [PX] schneidet in Y, und [PY] schneidet & in X. Be-
schreibt jetzt X die Punktreihe G, so ist das Strahlenbüschel [PX]
identisch mit dem Strahlenbüschel [PY], dieses projektiv dem Strahlen-
büschel [G'Y], also nach Obigem projektiv der von X beschriebenen
Punktreihe, also auch projektiv dem von Y beschriebenen Strahlen-
büschel.
Sind jetzt U, V zwei Schnittpunkte beider Kegelschnitte, welche
mit P in einer Geraden liegen, ferner X₁ = (G[UV]) und U, V,
X₁, Y₁ harmonisch, so sind X und Y₁ konjugierte Punkte in der
Steinerschen Verwandtschaft und die Gerade [PX] gleich der Ge-
raden [PY] Nun folgt aus: X konjugiert Y und X konjugiert Y,
daß auch:
([XY][XY]) und ([XX][YY])
konjugierte Punkte sind. Der erstere dieser beiden Punkte ist aber
1) Hesse, Crelles J. 20 (1840), p. 301; 36 (1848), p. 146 -Werke (München
1897) p. 41, 159. Salmon-Fiedler, Kegelschnitte, 4. Aufl. (Leipzig 1878), Art.
236, 9, p. 291. Cremona, Curve piane, art. 109; deutsch v. Curtze (Greifs-
wald 1865), p. 161. Chasles, Sect. con., art. 133. Schröter-Steiner, Kegel-
schn., p. 153. Rosanes, Schlömilchs Ztschr. 17 (1872), p. 174. Zerfällt der
Kegelschnitt in zwei Gerade, deren eine die unendlich ferne ist, so erhält man
den Satz von Gauß (S. 31, 2).
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