Kapitel I. Projektive kubische Konstruktionen.
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Kapitel I.
Projektive kubische Konstruktionen.
Als Fundamentalaufgabe legen wir die folgende zugrunde: „Das
gemeinsame Poltripel zu finden zu einem festen, gezeichnet vorliegenden
und jedem beliebigen durch fünf Punkte gegebenen Kegelschnitt.“ ¹)
Später wird sich herausstellen, daß es genügt, die Aufgabe nur für
den spezielleren Fall als lösbar einzuführen, in welchem von den fünf
willkürlichen Punkten zwei fest gegeben sind.
Zunächst läßt sich zeigen, daß auf Grund der kubischen auch
die quadratische Fundamentalaufgabe lösbar ist. Man kann annehmen,
daß das eine A, A' der beiden gegebenen Punktpaare, deren gemein-
sames harmonisches gesucht wird, auf dem gezeichnet vorliegenden
Kegelschnitt liegt, da sich der allgemeine Fall durch Perspektivität
auf diesen zurückführen läßt.
Nunmehr konstruiere man
den Pol P der Geraden AA'
und nehme als den durch
fünf Punkte bestimmten
Kegelschnitt den durch B,
B', einen beliebigen dritten
Punkt hindurchgehenden, die
Geraden [BP], [B'P] tan-
gierenden Kegelschnitt. Ist
dann
P Q R
das gemeinsame Poltripel,
dann ist QR das gemeinsame
harmonische Paar zu AA',BB'.
Die Lösung der kubischen
Fundamentalaufgabe umfaßt
also die der quadratischen.
B'
R
Auf Grund der kubischen Fundamentalaufgabe wird auch die
allgemeinere lösbar: das Poltripel P, Q, R zu zwei durch je fünf
1) Zur wirklichen Ausführung wäre also ein Kegelschnittzirkel zu ver-
wenden, welcher einen Kegelschnitt durch fünf Punkte zu legen gestattet. Ein
solcher ist von W. Jürges (Schlöm. Ztschr. 38 (1893), p. 350) angegeben worden;
er beruht auf der projektiven Fundamentaleigenschaft, während die älteren
Kegelschnittzirkel, wie der Ellipsenzirkel von Leonardo da Vinci (aber auch
neuere, wie der von Brauer (vgl. hierüber Schlöm. Ztschr. 38 (1893), Hist.-lit.
Abt., p. 195)) auf metrischen Eigenschaften beruhen. Über ältere Kegelschnitt-
zirkel s. A. v. Braunmühl, Schlöm. Ztschr. 35 (1890), Hist.-lit. Abt., p. 161.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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