Algebraische Einleitung.
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X1
ganze oder rationale Wurzeln hat. Ist x, eine ganze Wurzel, so
folgt aus:
d
-
x₁(α x₁²+bx₁+c),
daß als ganze Wurzeln nur Teiler von d in Betracht kommen.
Für rationale Wurzeln läßt sich zunächst zeigen, daß eine
Gleichung:
y³ + py²+qy + r = 0
m
mit ganzzahligen Koeffizienten p, q, r, als rationale nur ganzzahlige
rationale Wurzeln haben kann. Denn ist eine solche rationale
Wurzel mit teilerfremden m und n, so muß:
m(m²+pmn+qn²),
r
n
durch n³ geteilt, die ganze Zahl ergeben. Da aber der Zähler
durch keinen Faktor von n teilbar ist, so muß n = 1 sein.
Eine Gleichung:
ax³ + bx + cx + d = 0
mit ganzzahligen a, b, c, d werde vermittels x =
b
с
y³ + k ² y² + k² ²° y + z³ d² 0,
a
a
-
a
y
k
transformiert in:
und für k werde diejenige kleinste Zahl gewählt, für welche die drei
Koeffizienten:
b
с
d
ko, ka, ka
a
ganzzahlig sind. Hat die Gleichung in x eine rationale Wurzel, so
muß die Gleichung in y eine rationale, also nach obigem Satze eine
ganzzahlige Wurzel haben, also der Nenner jener rationalen Wurzel x
ein Teiler von k sein. Durch die Substitution:
1
X
11 x
ergibt sich ebenso: Als Zähler für rationale Wurzeln kann man nur
Teiler derjenigen kleinsten Zahl k in Betracht ziehen, für welche:
с
b
h3
h q, h² , h³ a
d
h2
d'
ganzzahlig sind. Findet man also auf diesem Wege keine rationalen
Wurzeln, so ist die Gleichung irreduktibel.
Daraus folgt z. B. die Irreduktibilität der Gleichung:
x³-2=0,
von der die Verdoppelung des Würfels abhängt; ferner der Gleichung:
x³+x²-2x-1=0,