Kapitel III. Metrische quadratische Konstruktionen.
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können ¹), welche bei jeder Wahl der darin vorkommenden willkür-
lichen Größen lauter reelle Lösungen haben, bei denen also die Dis-
kriminanten der auftretenden quadratischen Gleichungen definite posi-
tive Größen sind. Dies trifft z. B. zu bei den konstruierbaren regu-
lären Polygonen. Algebraisch ausgedrückt kommen zu den rationalen
Operationen durch die Zentralen y = Ax des Einheitskreises x²+ y²= 1
nur die Quadratwurzeln V1 + A2 hinzu. Umgekehrt sind also Kon-
struktionen, die auf quadratische Irrationalitäten dieser speziellen Art
führen, durch Lineal und Streckenübertrager ausführbar.
Übrigens ist der Streckenübertrager nicht irgendeinem gezeichnet
vorliegenden Datum äquivalent, da ein solches, aus Punkten und
Geraden bestehend, lediglich deren Koordinaten, aber keine sonstigen
Irrationalitäten einführen würde.
Aufgaben: Konstruktion der Achsen und der Brennpunkte eines
Kegelschnitts.
Hat man zwei konjugierte Durchmesser, so erhält man die Haupt-
durchmesser als Summe und Differenz der Entfernungen der Scheitel
des einen von den Scheiteln des um 90° gedrehten andern.")
•
Wenn von einer gleichseitigen Hyperbel vier oder von einem
Kreise drei Elemente gegeben sind, so sind weitere Elemente zu kon-
struieren.
Aufgabe des Apollonius ): Die Kreise zu konstruieren, die drei
gegebene berühren.
Aufgabe des Malfatti ¹): Drei Kreise zu konstruieren, die einander
und von denen jeder zwei Seiten eines gegebenen Dreiecks berührt.
1) Daß die angegebene Bedingung auch hinreichend ist, hat für den Fall,
daß unter den Daten der Aufgabe nur eine willkürliche Größe vorkommt,
Hilbert a. a. O., p. 80-82, bewiesen. Der Beweis ergibt sich leicht aus dem
Satze von Landau (Math. Ann. 57 (1903), p. 53): Eine ganze rationale Funktion
f(x) mit rationalen Zahlenkoeffizienten, welche für keinen Wert der Variabeln
negativ wird, ist eine Quadratsumme ganzer rationaler Funktionen mit rationalen
Zahlenkoeffizienten.
2) Z. B. H. Meyer, Archiv d. Math. u. Phys. 13 (1849), p. 406.
3) Apollonius behandelte diese Aufgabe in den zwei verlorenen Büchern
Über Berührungen"; vgl. Pappus, 1. c. II, p. 647. Über die weitere Geschichte
des Problems s. E. Kötter, 1. c., p. 109.
(Modena 1803), T. I, p. 235 ff.
Gergonnes Annales de Mathé-
Werke I (1881), p. 35.
4) Malfatti, Mem. d. soc. It., Bd. 10
Crelle, Sammlung mathem. Aufsätze, p. 133.
matiques I, II. Steiner, Crelles J. I (1826), p. 178
Schröter, Crelles J. 77 (1874), p. 230 ff. (mit eingehenden Literaturnachweisen).
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