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Zweiter Teil. Quadratische Konstruktionen.
jedem Punkte A in bezug auf M(MP) der auf [MA] gelegene
Punkt A', für den MA MA' MP2 ist. Den Punkten eines nicht
= MP²
durch M gehenden Kreises entsprechen Punkte eines nicht durch M
gehenden Kreises; aber den Punkten einer Geraden die Punkte eines
durch M gehenden Kreises und umgekehrt. Jetzt denke man sich
eine Konstruktion als Steinersche mit dem Grundkreis M(MP) aus-
geführt. Diese Konstruktion ist sofort durch Inversion in bezug auf
M(MP) in eine Mascheronische zu übersetzen, wenn man zu jedem
Punkt den inversen, zu jeder Geraden den inversen Kreis mit dem
Zirkel allein konstruieren kann. Den inversen Punkt A' zu A findet
man so: Sind Q, R die Schnittpunkte von M(MP) mit A(AM), so
ist A' der zweite Schnittpunkt von Q(QM) und R(RM). Ist AM
kleiner als MP, so muß man es erst ver-n-fachen, MA„=n· MA,
dann den inversen Punkt A zu A, konstruieren und aus
1
n
n. MAMA'
den Punkt durch eine zweite Ver-n-fachung finden. Die Ver-n-fachung
kommt auf die Verdoppelung zurück, und diese ergibt das reguläre
Sechseck mit dem Radius MA. Den Mittelpunkt des zur Geraden
[AB] inversen Kreises findet man als inversen Punkt zum zweiten
Schnittpunkte von A(AM), B(BM).
Zu den Sätzen von Steiner und Mascheroni können wir hinzu-
fügen, daß dieselben Konstruktionen mit Kreisen allein lösbar sind,
die durch einen gegebenen Punkt gehen, wenn ein Kreis mit diesem
Punkt als Mittelpunkt gezeichnet vorliegt.
Dieselben Konstruktionen sind mit dem Lineal allein lösbar,
wenn von beiden (parallelen) Kanten desselben Gebrauch gemacht
wird. Denn:
1. Man kann jeden Winkel halbieren, indem man zu seinen
Schenkeln im Abstand der Lineal breite Parallelen zieht und die Dia-
gonalen des entstehenden Rhombus zieht. Da diese Diagonalen außer-
dem aufeinander senkrecht stehen, so kann man alle Aufgaben des
Paralleleziehens und Lotefällens lösen.
2. Um auch noch die quadratischen Aufgaben lösen zu können,
hat man nur zu zeigen, daß man die Schnittpunkte einer gegebenen
Geraden mit einem einzigen bestimmten, aber nicht gezeichnet vor-
Jeder gemeinsame harmonische zu zwei Kreisen ist Orthogonalkreis
beider. Man kann jeden Kreis als zwei zusammenfallende konträren Sinnes be-
trachten, also in zwei solche,,orientierte" Kreise zerlegen, gerade wie v. Staudt
das gemeinsame harmonische Punktpaar durch Zuordnung des einen und des
anderen Sinnes der Geraden in die zwei Punkte zerlegt.
1) Als Vorläufer der Steinerschen und Mascheronischen Konstruktionen
sind die von Cardano, Tartaglia, Dürer u. a. mit einer Zirkelöffnung anzusehen
(siehe Cantor II (2), p. 526).