Kapitel III. Metrische quadratische Konstruktionen.
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Kürzer zu beschreiben, aber länger zu begründen ist der folgende
Beweis: 1)
Durch Inversion (Abbildung durch reziproke Radien³)) entspricht
1) A. Adler, Wiener Akad. Ber. XCIX, Abt. IIa (1890); Berl. Math. Ges. I
(1902), p. 26.
2) Dies Prinzip wird schon von Pappus (1. c. I, p. 195) und Vieta (Apol-
lonius Gallus, Paris 1600) und für den Raum von Fermat (Opera, Tolosae 1679,
p. 79 ff.) benutzt, um kompliziertere Konstruktionen auf einfachere zurückzuführen.
Führt man Cartesische Koordinaten ein, so wird die Inversion in bezug auf den
Kreis x+y= R durch die Substitution:
x
Rx
x² + y²'
oder wenn man jedem Punkte (x, y) die
y
||
Ry
| x² + y² '
2
komplexen Zahlen
x+iy: <= %,
-
x — iy = z'
zuordnet, durch die Substitution
R
2
ausgedrückt. Eine ,,Verschiebung" drückt sich durch.
21 z+α,
eine,,Dehnung" (bzw. Zusammenziehung) mit gleichzeitiger Drehung durch
z ||
-
2 βε
(speziell eine Umwendung"), also eine beliebige,,Ähnlichkeit" durch
die affine Substitution
z || Bz + α,
Spiegelung an der x Achse durch z' || z, aus.
Durch Zusammensetzung von Ähnlichkeiten, Spiegelungen und Inversionen
ergibt sich die allgemeine ,,Kreisverwandtschaft", dargestellt durch eine linear
gebrochene Substitution:
2
α + B z
17+82
bzw. z'
α + B z
18+8%
(schiefe und gerade Kreisverwandtschaft), die also als ,,komplexe Projektivität"
auf der Geraden anzusehen und ein reelles Bild derselben ist. Über die Theorie
der Kreisverwandtschaft siehe namentlich Möbius, Leipz. Ber. math.-phys. Kl.
IV, 1852, p. 41 ff. (Crelles J. 52, 1856) Werke II, p. 188 ff.; Leipz. Abh., math.-
phys. Kl. II, 1855, p. 529 ff. Werke II, p. 243 ff., über die Geschichte derselben
siehe E. Kötter, 1. c., p. 98 ff.
=
=
Wie eine Kreisverwandtschaft eine komplexe Projektivität ist, so ist eine
schiefe Inversion eine komplexe Involution, ihre tautologen Punkte bilden den
Inversionskreis, der also an die Stelle der Punktpaare einer Geraden tritt. Zwei
Kreise sind „harmonisch", wenn die zugehörigen schiefen Inversionen vertausch-
bar sind; das tritt ein, wenn die Kreise sich senkrecht schneiden. Jede gerade
Kreisverwandtschaft ist aus zwei schiefen Inversionen zusammengesetzt und durch
drei Paare entsprechender Punkte bestimmt. Es gibt einen unendlich fernen
Punkt; in jedem Falle ist zu unterscheiden, ob eine Beziehung zu diesem vor-
handen ist oder nicht. Im ersten Fall ist, der betr. Begriff, Satz, oder die betr.
Aufgabe inversibel", im zweiten nicht.