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Zweiter Teil. Quadratische Konstruktionen.
und Lineal findet. Dazu ist zu zeigen, daß man die Schnittpunkte
einer durch zwei Punkte gegebenen, aber nicht gezeichneten Geraden
mit einer ebenso gegebenen oder mit einem gezeichneten Kreise ver-
mittels des Zirkels allein finden kann.¹)
Es seien erstens die Schnitte von [AB] mit M(MP) zu kon-
struieren. Man finde M₁ als zweiten Schnittpunkt von A(AM) und
B(BM), dann sind die gesuchten Schnittpunkte die von M₁(MP)
mit M(MP).
Es seien zweitens, was oben ausgeschlossen war, die Schnitte
von [AM] mit M(MP) zu konstruieren. Ist der zweite Schnitt
von M(MP) mit A(AP), so hat man die Bogen PQ in X und Y
zu halbieren. Das sind die gesuchten Schnittpunkte. Zu dem Zweck
finde man R als Schnitt von P(PM) und M(PQ), ebenso S als
Schnitt von Q(QM) und M(PQ), dann T als Schnitt von R(RQ)
und S(SP), schließlich X als Schnitt von R(MT) und S(MT).
Ebenso findet man Y. Den einfachen Beweis überlassen wir dem
Leser.
=
=
Es seien drittens der Schnittpunkt X von [AB] und [CD] zu
konstruieren. Man finde C' aus AC'= AC, BC'= BC, ebenso D'
aus AD' AD, BD'=BD. Also ist der Schnitt von [CD] und
[C'D'] zu finden. Man konstruiere E aus CE = DD', D'E - DC,
dann ist C'X: C'D' C'C: C'E, also findet man X als Schnitt von
C(CX), C'(C'X), wenn man zu drei Strecken C'C, C'D', C'E die
vierte Proportionale CX C'X konstruieren kann.
=
=
A
C
C'
DY
B
E
M
A
A
B'
B
ac
b
zu kon-
Um zu drei Strecken a, b, c die vierte Proportionale
struieren, bilde man aus (z. B.) AA'=c, MA = MA' b das Dreieck
MAA', wähle AB = m beliebig und mache die Dreiecke
AMB AMB'
--
aus AB=m, MB = a, A'B'=m, MB'= a, so ist BMB'~ AMA',
ac
also a BB'b: c, also BB' = die gesuchte Größe.
b
1) Mascheroni, Geometria del compasso, Pavia 1797, frz. von Carette,
Paris 1798, deutsch von Gruson, Berlin 1825. Hutt, Die Mascheronischen
Konstruktionen, Halle 1880. Frisch auf, Über die geometrischen Konstruktionen
von L. Mascheroni und J. Steiner, Graz 1869.