Kapitel III. Metrische quadratische Konstruktionen.
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man die Schnittpunkte zweier nicht gezeichnet vorliegender Kreise
oder eines solchen Kreises und einer gezeichneten Geraden mit dem
Lineal allein unter Benutzung eines gezeichnet vorliegenden Kreises
konstruieren.¹)
=
Es sei M(MQ) der gegebene gezeichnet vorliegende Kreis,
§' = M' (M'P') ein nur durch Mittelpunkt M' und Peripheriepunkt P'
gegebener Kreis, dessen Schnittpunkte mit der Geraden & zu kon-
struieren sind. Man ziehe den zu M'P' parallelen und gleichgerich-
teten Radius MP, dadurch wird der äußere Ähnlichkeitspunkt
A = ([PP'][MM'])
bestimmt. Dann ziehe man den zu MQ parallelen Radius M'Q', wo
Q' durch den Schnitt mit AQ bestimmt ist. Die weitere Konstruktion
ist beschrieben durch:
B
B'=([M'P']&), C′ = = ([M'Q']G),
-
([AB'][MP]), C=([AC'][MQ]),
[BC] schueide in X und Y, dann sind
X'= ([AX]G), Y'=([AY]G)
die gesuchten Schnittpunkte.
und zu kon-
mit [MM'], ABST
Es seien zweitens die Schnittpunkte von
struieren. Sind S, T die Schnittpunkte von
harmonisch, [RBR] die zu [AB] senkrechte Sehne von Я, M'R
das Lot auf [AR] mit dem Fußpunkt R', ferner N der Mittelpunkt
von RR', & das Lot von N auf [MM'], so ist die gemeinsame
Sekante (Chordale) beider Kreise, ihre Schnittpunkte mit & zugleich
die mit K.
Es seien drittens die Schnittpunkte zweier Kreise
R₁ = M₁(M₁ P₁), &₂ = M₂(M₂P₂)
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zu konstruieren. Man konstruiere wie oben die Chordale G, von K
und K, die Chordale & von K und K₁, fälle von (66) das Lot
auf [M₁ M₂], so hat man damit die Chordale & von K₁ und K₂, deren
Schnittpunkte mit K, oder K, wie oben zu konstruieren sind.
Diesen Konstruktionen, bei denen der Gebrauch des Zirkels auf
ein Minimum beschränkt ist, entsprechen diejenigen, wo nur der
Zirkel, das Lineal gar nicht zur Anwendung kommt. Auch mit
dem Zirkel allein sind alle Punkte zu finden, die man mit Zirkel
=
1) Poncelet, Traité I, No. 351-357. Steiner, Die geometrischen Kon-
struktionen, ausgeführt vermittels der geraden Linie und eines festen Kreises
(Berlin 1833) Werke Bd. I, p. 461. Schon Lambert behandelt ähnliche Kon-
struktionen, 1. c. p. 171 und Cardano soll (nach Baltzer, Anal. Geom., Leipzig
1882, p. 78) das in Rede stehende allgemeine Resultat gehabt haben. Siehe
auch Newton, Arithmetica universalis, p. 231.