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Zweiter Teil. Quadratische Konstruktionen.
Die beiden Punkte X und X', für welche:
(AA'X)=√(AA'B)
ist, ergeben sich wie folgt:
Man projiziere von einem beliebigen Punkte S des Kegelschnitts
aus die Punkte A, A', B' und den unendlich fernen Punkt B dieser
Geraden in die Punkte a, a, b, b des Kegelschnitts und verfahre mit
diesen wie oben.
Aufgaben: Von einer durch vier Punkte gegebenen Parabel
weitere Punkte zu konstruieren.
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Die Asymptoten eines durch fünf Elemente gegebenen Kegel-
schnitts zu konstruieren. Man findet sie als gemeinsames harmo-
nisches Paar zu zwei Paaren konjugierter Durchmesser (s. S. 59).
Kapitel III.
Metrische quadratische Konstruktionen.
Bei diesen Konstruktionen wird das Paralleleziehen, Lotefällen
und Quadratwurzelausziehen als ausführbar angenommen. Zu ihrer
Ausführung kann als gegeben angenommen werden: Zwei Paar
Parallelen, zwei rechte Winkel und ein gezeichnet gegebener Kegel-
schnitt. Statt der zwei Paar Parallelen kann wie oben S. 53 auch
der Mittelpunkt des Kegelschnitts gegeben werden, und die zwei
rechten Winkel können wegfallen, wenn der Kegelschnitt ein Kreis
ist, da ein Kreisviereck mit einem Durchmesser als Diagonale zwei
rechte Winkel liefert; schließlich kann man auch von den drei Daten
die zwei rechten Winkel und den Kegelschnitt durch einen Kreis
ohne Mittelpunkt ersetzt annehmen, da durch die zwei Paar Parallelen
der Mittelpunkt konstruierbar wird. Oder man läßt ein Paar Parallelen
fort und gibt statt dessen einen Durchmesser u. dgl.
Dann läßt sich genau wie bei den affinen quadratischen Kon-
struktionen nachweisen, daß die konstruierbaren Verhältnisse quadra-
tisch irrational in den gegebenen sind (metrisch quadratisches Netz).
Andere Konstruktionsmittel: Daß diese Konstruktionen mit Lineal
und Zirkel lösbar sind, versteht sich von selbst, da man ja mit dem
Zirkel einen einzigen Kreis zu schlagen braucht, um das erforderliche
Datum zu haben.
Daß man umgekehrt mit Lineal und Zirkel nicht mehr kon-
struieren kann als mit dem Lineal allein, wenn ein Kreis gezeichnet
vorliegt, folgt daraus, daß die Schnittpunkte von Kreisen mit Kreisen
oder Geraden quadratisch irrational von den Koordinaten der Gerade.
und Kreise abhängen. Um es rein geometrisch direkt zu zeigen, muß