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Zweiter Teil. Quadratische Konstruktionen.
sei:
ax+by+c=0
x' = a + BVD,
y' = y + 8VD.
Man wähle die konstruierbaren Doppelverhältnisse und u be-
liebig, aber so, daß der Wert
t₁ = λ+uVD
im Intervall von t' bis t" liegt, und es werden:
x₁ = α₁ + ẞ₁ VD,
Y₁ = 7₁+ d₁VD
Y1
die Koordinaten des zum Werte t, des Parameters t gehörigen Punktes
des Kegelschnitts.
Dann ist:
d₁ x − В₁ y = (α₁ð₁ — V₁ẞ₁)
eine konstruierbare Gerade, die aus dem gegebenen Kegelschnittbogen
den Punkt x₁, y₁ ausschneidet, von dem der gesuchte Punkt x',
rational, also linear konstruierbar abhängt.
y
Die Konstruktion kann so erfolgen: Es sei B der Pol der ge-
gebenen Geraden, X ein Punkt in der Nähe des gegebenen Bogens,
Y sein konjugierter auf [BX], B'B harmonisch zu XY, ferner P'Q'
die Schnittpunkte der Polare von B' mit dem Kegelschnitt, dann
sind P= ([XP'][YQ′]), Q = ([XQ'][YP']) die gesuchten Schnitt-
punkte.
Aufgaben.
Die Schnittpunkte einer Geraden 2 mit einem durch fünf Punkte
P, Q, R, S, T gegebenen Kegelschnitt zu finden. - Das gesuchte
Punktepaar ist harmonisch zu dem gemeinsamen harmonischen der
drei Paare:
(L[ST]), (L[QR]),
(L[SR]), (L[QT]),
(L[SQ]), (L[RT]);
ebenso zu dem gemeinsamen harmonischen von drei Paaren, die das
Viereck POST auf 2 liefert. Demnach ist die Aufgabe zurück-
geführt auf die bereits oben S. 48 erledigte: das gemeinsame har-
monische zu zwei indirekt gegebenen Paaren zu finden. Diese Lösung
beruht auf dem Satze, daß die durch vier Punkte, z. B. QRST,
gehenden Kegelschnitte (Kegelschnittbüschel), zu denen auch die Ge-
radenpaare