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Zweiter Teil. Quadratische Konstruktionen.
Das gemeinsame harmonische Paar zu A, A' und B, B' wird
also durch die Polare des Punktes ([aa'] [bb']) geliefert. Demnach
ist dieses gemeinsame harmonische Paar auch dann zu finden, wenn
das Paar BB' nicht direkt gegeben ist, sondern als das gemeinsame
harmonische der Paare P, P' und Q, Q' definiert ist. Denn man
findet die Gerade [bb'] als Polare des Punktes ([pp'] [qq′]) und dann
die Gerade [aa]. Demnach ist diese quadratische Fundamentalaufgabe
auch lösbar, wenn das eine der gegebenen Paare oder auch beide
nicht explizite, sondern implizite (eventuell imaginär) als gemeinsames
harmonisches von zwei gegebenen Paaren gegeben sind. Diese letzteren
gegebenen Paare können ihrerseits wieder implizite gegeben sein usw.
Eine zweite Konstruktion des gemeinsamen harmonischen Paares
ist die folgende: Man kann durch Projektion erreichen, daß das eine
der beiden Paare auf dem Kegelschnitt liegt, das heiße U, U', das
andere B, B'. Man konstruiere die Schnittpunkte P, Q der Polaren
von B, und die Schnittpunkte P', Q' der Polaren von B' mit dem
Kegelschnitt; dann ist X=([PP'][QQ']), Y=([PQ'][P'Q]) das ge-
meinsame harmonische Paar. Daß X, Y auf [BB'] liegen, folgt durch
den Pascalschen Satz aus den Sechsecken
PPQQQP' und PP'P'QQ'Q'.
Daß X, Y harmonisch zu U, U' ist, folgt aus den Polareigenschaften,
daß X, Y harmonisch zu B, B' ist, aus dem Harmoniesatz beim Vier-
seit, das die vier Tangenten [PP], [P′P′], [QQ], [Q'Q'] bilden, wenn
man noch hinzunimmt, daß die Schnittpunkte ([PP][P'P']),
([QQ]['']) mit Y auf der Polaren von X, und die Schnittpunkte
([PP][Q'Q']), ([P'P'][QQ]) mit X auf der Polaren von Y liegen.
Es ist von besonderer Bedeutung, auch den dualen Fall ins Auge
zu fassen: Zu zwei Geradenpaaren eines Punktes O das gemeinsame
B
M
Β'
harmonische zu finden. Man
kann entsprechend wie
oben annehmen, daß zwei
der Geraden Tangenten
des Kegelschnitts sind. Das.
seien [01], [OJ] mit den
Berührpunkten I, J. Das
andere Paar sei [OAA₁],
[ОA'A'], wo Α, A', Â₁,
A,' ihre Schnitte mit dem
Kegelschnitt sind. Die
Punkte
P = ([AA'][‚Â']),
Q = ([AA₁'][A₁A'])