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Zweiter Teil. Quadratische Konstruktionen.
eingeführt, welche aber gleich ±√(AA'BB′) sind, und alle weiteren
„neuen“ Doppelverhältnisse wie (PQRZ), (PQZZ') drücken sich nach
S. 10 (oben) rational durch die Doppelverhältnisse (AA'BP), usw. und
(AA'BZ), (AA'BZ') aus.
Demnach können wir den Satz aussprechen: ,,Durch projektive
quadratische Konstruktionen werden alle und nur diejenigen Doppel-
verhältnisse konstruierbar, die quadratisch irrational von den gegebenen
Doppelverhältnissen abhängen“ (das projektiv quadratische Netz).
Statt jener quadratischen Fundamentalaufgabe kann man z. B.
die folgende („zweite" Fundamentalaufgabe) einführen: Die Doppel-
punkte der Projektivität
(ABCX) = (A'B'C'X')
zu konstruieren, wo A, B, C und A', B', C' gegebene Punkte einer
Geraden sind. Denn in der Tat führt diese Aufgabe durch Einführung
von Koordinaten auf die quadratische Gleichung:
a'.
a-x
a
-
с
c'
a'- x
=
-
b c' b
X
b.
-
b'.
с
"
-
x
:
ist also vermittelst unserer quadratischen Fundamentalaufgabe lösbar.
Aber die zuerst eingeführte Fundamentalaufgabe ist die einfachere.
Umgekehrt kann die Auffindung des gemeinsamen harmonischen
Paares zu zwei gegebenen Paaren AA' und BB' durch die zweite
Fundamentalaufgabe bewerkstelligt werden. Denn man nehme auf
der Geraden den Punkt C beliebig an, konstruiere zu AA'BB'C den
sechsten involutorischen C', und dann auf Grund der zweiten Funda-
mentalaufgabe das Doppelpunktpaar X, Y der Projektivität:
(ABCX) = (A'B'C'X').
Da diese Projektivität eine Involution ist, so ist X, Y harmonisch zu
AA' und zu BB', also das gesuchte gemeinsame harmonische.
Q RX R'
Die Fundamentalaufgabe kann nun offenbar mit dem Lineal allein.
nicht gelöst werden, da man mit dem Lineal, wie bewiesen, nur
rationale, nicht quadratisch irrationale Ausdrücke konstruieren kann.