Zweiter Teil.
Quadratische Konstruktionen.
Algebraische Einleitung.
Unter quadratischen Konstruktionen verstehen wir solche, welche
algebraisch gesprochen, außer rationalen Operationen das Ausziehen
von Quadratwurzeln erfordern.¹) Infolgedessen ist es notwendig, vor-
weg die durch bloße rationale Operationen und Quadratwurzelaus-
ziehungen gebildeten,,quadratischen Irrationalitäten" zu betrachten.")
Kommt in einem solchen Ausdruck nur eine Wurzel VR vor,
die nicht auszuziehen ist, so ist er von der Form
Erweiterung mit c- dVR von der Form
x = A + BVR
a+by R
c+dVR
und genügt einer irreduzibeln Gleichung zweiten Grades:
x²-2Ax+(4º— B²R) = 0.
oder nach
(1)
Ein solcher Ausdruck heiße von erster Stufe. Sind A, B, R,
aber nicht VR selbst von erster Stufe und VR, die darin vorkommende
Wurzel, so heißt x von zweiter Stufe. Die Gleichung für x erhält
man dann, wenn man die Gleichung (1), die von der Form
f(x) + g(x)VR₁ = 0
ist, durch Multiplikation mit f(x) − g(x) VR, rational macht. Sie
wird also vom vierten Grade.
Ein quadratisch irrationaler Ausdruckter Stufe ist ein Ausdruck,
in welchem Quadratwurzeln vorkommen, von denen der Radikand
einer jeden, aber nicht die Wurzel selbst, rational von den vorher-
1) Ebenso unter kubischen solche, welche Quadrat- und Kubikwurzeln er-
fordern. Diese Terminologie ist offenbar zweckmäßiger als die von F. London
(Schlömilchs Ztschr. 41 (1896), p. 129) und A. Adler (Konstruktionen (Leipzig
1906), p. 250), welche unter quadratischen, kubischen, biquadratischen Aufgaben
solche verstehen, die auf eine Gleichung zweiten, dritten, vierten Grades führen.
2) Vgl. hierzu Vahlen, Acta math., Bd. 21 (1897), p. 287.