Kapitel III. Metrische lineare Konstruktionen.
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zirkularen Involution durch die Kreispunkte gehen, so kann man die
Brennpunkte auch als die Schnittpunkte der von den Kreispunkten
an den Kegelschnitt gelegten Tangenten definieren. ¹) Also gibt es
deren vier. Und da die Geraden, als deren Schnitte sie erklärt sind,
paarweis konjugiert imaginär sind, so sind jedenfalls zwei, also auch
nur zwei reell. Da ferner jeder Brennpunkt an jeder Achse ge-
spiegelt, aus Symmetriegründen wieder einen Brennpunkt ergibt, so
müssen von den vier Brennpunkten die zwei reellen auf der einen
Achse, also auf Grund von Poncelets Kontinuitätsprinzip und ebenfalls
aus Symmetriegründen die zwei imaginären auf der anderen Achse
liegen.) Die erste heißt ,,Hauptachse", die zweite ,,Nebenachse"; die
Sehnen auf ihnen „Hauptdurchmesser", „Nebendurchmesser", deren
Endpunkte „Hauptscheitel", „Nebenscheitel". Bei der Parabel liegt
nur ein, also reeller Brennpunkt im Endlichen, auf der Achse. Die
Polaren der Brennpunkte heißen „Leitlinien".
Aufgaben: Konstruktion der Achse, des Brennpunkts, des Scheitels
einer durch vier Tangenten (od. dgl.) gegebenen Parabel. Zunächst
liefert der Brianchonsche Satz die Achsenrichtung, dann ergibt eine
durch einen Punkt der Parabel zur Achse senkrechte Sehne als Mittel-
lot die Achse, und deren Schnitt den Scheitel, dann eine zu einer
gegebenen Tangente senkrechte Tangente einen Punkt der Leitlinie usw.
Konstruktion von Punkten, der Achsen, des anderen Brennpunktes,
eines Kegelschnitts, wenn ein Brennpunkt und drei Tangenten (oder
dgl.) gegeben sind.
1) Diese Eigenschaft der schon Apollonius (lib. III, prop. 45 ff., ed. Halley,
p. 205 ff.) und Pappus (1. c. II, p. 1005 ff.) bekannten Brennpunkte fand De la
Hire (1. c. p. 189) und erkannte Poncelet in ihrer fundamentalen Bedeutung (Gerg.
Ann. VIII(1817/18), p. 1 ff., 68 ff., Applic. d'anal. II, p. 455 ff.).
2) Poncelet 1. c.; siehe auch Bret, Gerg. Ann. VIII (1817/18), p. 317 ff.