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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
transportablen Winkels, selbst wenn das Abtragen auf ein bloßes Ver-
doppeln beschränkt wird.
Aber es genügt sogar, wenn man imstande ist, einen einzigen
bestimmten Winkel nur um seinen Scheitel zu drehen, ja sogar, wenn
dieser Winkel in bloß drei nicht parallelen Lagen gezeichnet vor-
liegt. Denn man ziehe durch einen beliebigen Punkt A zu den linken,
durch einen beliebigen Punkt B zu den rechten Schenkeln der drei
gegebenen Winkel Parallele, wodurch man die drei gleichen Winkel
ACB, ADB, AEB erhalte. An den Kegelschnitt ABCDE, der in
diesem Fall nach dem Satz vom Peripheriewinkel ein Kreis ist, lege
man durch den Durchmesser AA', dann sind ABA', ACA' usw.
Rechte, nach dem Satz von Thales. A und B sind am einfachsten
als Schnittpunkte zweier linker und zweier rechter Schenkel zu wählen.
Metrische Begriffe und Sätze und metrisch lineare Aufgaben.
Welche Sätze erhält man durch metrische Spezialisierung aus
dem Desarguesschen und aus dem Pappusschen Satze?
Die metrisch spezialisierten Kegelschnitte sind der Kreis und die
gleichachsige Hyperbel; ersterer erzeugt durch zwei kongruente Strahl-
büschel (Satz von der Konstanz des Peripheriewinkels), letztere er-
zeugt durch zwei symmetrische Strahlbüschel ¹): drehen sich [OX]
X
um 0 und [PX] um P mit gleicher Geschwindig-
keit in konträrem Sinne, so beschreibt ihr Schnitt
X eine gleichachsige Hyperbel, die natürlich durch
O und P geht; daß ihre Asymptoten zueinander
senkrecht stehen, folgt sofort daraus, daß zwei
Parallele, um einen Rechten gedreht, wieder par-
allel sind. Zugleich beschreiben Y und Z den
P Kreis O(OP) gegenläufig und Z mit doppelter
Geschwindigkeit wie Y, wie aus dem Satz vom
Peripherie- und Zentriwinkel folgt. Wir erwähnen
diese Eigenschaft, weil sie den später zu behandeln-
den Winkeltrisektionen von Pappus, Grégoire, Chasles zugrunde liegt.
Auch die andere projektive Erzeugung: durch die Punkte P, für
die P(IJKL) konstant ist, führt beim Kreise zu einem wichtigen
Resultat. Verlegt man die Punkte I, J in die Kreispunkte, so ist
01
1) Auf dieser Eigenschaft beruht ein Zirkel für die rechtwinklige Hyperbel,
siehe z. B. J. M. Hasius, Specimen algebrae ad artem forti-
ficatoriam applicatae, Lipsiae 1707. Der rechte Winkel POQ
P dreht sich um den Scheitel 0; durch den Schnittpunkt Q
des einen Schenkels mit dem Mittellot von 00, geht ein
Lineal, das den anderen Schenkel in P trifft. P beschreibt
die Hyperbel.