Kapitel III. Metrische lineare Konstruktionen.
35
60° gedrehten Strecke OA'. Die Strecke OA' ist eine beliebige des
Punktes A', da man zum gegebenen Punkt A' das Sechseck AB
(durch A'), BC, CD usw. konstruieren kann.
Zu drei solchen Richtungen, die um 60º differieren, sind die
Kreispunkte die äquianharmonischen.
Natürlich sind diese beiden Konstruktionsbereiche voneinander
verschieden; man kann mit dem Lineal kein Quadrat konstruieren,
wenn ein Rhombus mit dem Winkel von 60° gegeben ist und um-
gekehrt; denn V3 läßt sich nicht rational ausdrücken.
b
a
Im allgemeinen Falle, wo eine unbestimmte Irrationalität ist,
kann durch bloßes Lotefällen und Paralleleziehen ein rechter Winkel
nicht halbiert oder gedrittelt oder eine Strecke nicht um einen Qua-
dranten oder Sextanten gedreht werden.
Durch die Einführung des Lotefällens tritt in bezug auf die
Koordinaten keine wesentliche Neuerung ein, außer der, daß man die
Achsen nunmehr senkrecht zueinander annehmen kann. Wird ein
Quadrat gegeben, so werden Strecken auf den beiden Achsen unter-
einander vergleichbar, man kann sie mit derselben Einheit messen.
Derart gewählte metrische Streckenkoordinaten heißen Cartesische.¹)
Streckenmultiplikation und -division.
Bei Strecken a, b, c auf parallelen oder, was auf dasselbe hinaus-
kommt, auf derselben Geraden wird das Produkt zweier Strecken
durch, der Quotient durch c wieder als Strecke erklärt, wobei
с
b
a
c die willkürlich anzunehmende Einheitsstrecke ist. Demnach handelt
es sich in beiden Fällen um die Konstruktion
der vierten Proportionalen OD zu drei ge-
gebenen Strecken OA, OB, OC auf einer
Geraden. Sie erfolgt durch
AE || BF, FD || EC.
F
E
A B C
D
Bei nicht parallelen Strecken wird die vierte Proportionale OD
zu den drei gegebenen Strecken OA, OB, OC durch die Ähnlichkeit.
der beiden Dreiecke OAB und OCD definiert.
Hieraus ergibt sich insbesondere die Konstruktion der vierten
Proportionalen: x wenn x mit c auf einer Geraden & liegen
=
bc
a
soll und b mit a auf einer dazu senkrecht Geraden
▲ Oac~AO b x
1) Descartes, Geometria. Nouv. éd. Paris 1886.
gegeben wird:
3*