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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
Erhält man schließlich nach einer endlichen Anzahl von Schritten
den Rest 0, so ist das Verhältnis b: a rational.
Dieses Abtragen einer Strecke b auf einer dazu senkrechten a
setzt jedoch eine neue Operation, das Drehen einer Strecke um einen
Rechten, voraus; man kann dann offenbar Quadrate konstruieren.
Umgekehrt, wenn das rationale Verhältnis
b: a
= m: n
bekannt ist, so kann man die Strecke:
ma (auf OA) = nb (auf OB),
also ein Quadrat konstruieren. Durch die Diagonalen dieses Quadrates
wird der zweite rechte Winkel geliefert.
In diesem Falle ist man imstande, jeden rechten Winkel zu
halbieren. Denn sei OABC das gegebene Quadrat, S der Diagonalen-
schnittpunkt, TSU ein dem zu halbierenden Rechten paralleler Rechter,
SO ist der Halbierungsstrahl SV dieses Winkels parallel zu UT
und U'T.
U
D
B' B
A
ΤΑ
E
Infolgedessen kann man jede Strecke um einen Rechten drehen,
indem man in ihren Endpunkten Lote errichtet und die entstehenden
Rechten halbiert.
Man kann diese Konstruktionen auch dadurch charakterisieren,
daß man sagt, es sind dabei zwei solche rechten Winkel mit dem-
selben Scheitel gegeben, daß ihre Schenkel harmonisch liegen. Diesen
Konstruktionen, die man als „metrische lineare harmonische" bezeichnen.
kann, stehen als „metrische lineare äquianharmonische" diejenigen gegen-
über, bei denen nicht ein Quadrat, sondern ein gleichseitiges Dreieck,
oder was auf dasselbe hinauskommt, drei Gerade eines Punktes mit
den Winkeln 60° gegeben sind.
Dann kann man durch bloßes Paralleleziehen (der Reihe nach
AB, BC, CD usw.) ein regelmäßiges Sechseck herstellen. Durch
ACOB werden rechte Winkel geliefert. Nunmehr kann man jede
Strecke, z. B. OA', um 60° drehen, also jeden Rechten dritteln. Man
ziehe erst A'D' || AD, dann D'B' || DB, so ist OB' gleich der um