Kapitel III. Metrische lineare Konstruktionen. 333 OP X = O P₂ OA' y OB als Koordinaten eines beliebigen Punktes P, OA = η 0,0'' ов OQ" als Koordinaten einer beliebigen Geraden [Q'Q″]. Man kann annehmen, daß die zwei gegebenen rechten Winkel die Winkel AOB und ODA sind; dann ergeben sich alle Punkte, die durch metrisch lineare Konstruktion gefunden werden können, aus den gegebenen Punkten, einschließlich O und D, durch affine lineare Konstruktion. Daraus folgt, daß die metrisch linear kon- struierbaren Punkte und Geraden diejenigen sind, deren Koordinaten rational von den Koordinaten der gegebenen Elemente abhängen, ein- schließlich Wo α = OA, b = х = XD OD₁ ОА OB ist. OD₂ a2 = b29 YD ов b2 a², b2 a², Insbesondere kann das Verhältnis also auch x, y, rational sein; dann ist der Punkt D bereits affin linear konstruierbar: mit dem einen rechten Winkel AOB ist der zweite ODA mit gegeben. Das steht nicht im Widerspruch mit dem obigen Resultat, denn hier sind außer dem Rechten noch auf seinen Schenkeln Strecken gegeben, deren Quadrate in rationalem Verhältnis stehen. Dieses Datum ent- hält also einen zweiten Rechten. b a Ferner kann schon das Verhältnis rational sein. Man stellt dies fest, indem man die kleinere der beiden Strecken auf der größeren abträgt, den verbleibenden Rest auf der vorher abgetragenen Strecke und so fort nach dem bekannten Euklidischen Algorithmus. Arith- metisch drückt sich dieser Prozeß, wenn man die Reste mit c, d, e... und die ganzzahligen Quotienten mit q, q', q″, . . . bezeichnet, folgen- dermaßen aus: a mit 0