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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
Lot errichten und von jedem Punkte auf jede Gerade das Lot fällen.
Dabei können die zwei gegebenen Rechten beliebig in der Ebene
liegen, sie dürfen nur nicht parallel sein.
In Hinblick auf den Involutionssatz beim Vierseit (s. S. 7)
können wir den Bodenmillerschen Satz so aussprechen: Drei Paare
Senkrechter eines Punktes sind in Involution. Eine solche Involution
heißt „zirkular". Andererseits sind konjugierte Kreisdurchmesser zu-
einander senkrecht, denn jeder halbiert die dem andern parallelen
Sehnen. Also sind die (imaginären) Doppelstrahlen einer zirkularen
Involution im Punkte O die Asymptoten aller Kreise mit 0 als Mittel-
punkt. Alle zirkularen Involutionen sind „parallel", demnach haben
auch alle Kreisasymptoten dieselben Richtungen; diese zwei imaginären
Richtungen oder diese zwei unendlich fernen imaginären Punkte, durch
die alle Kreise hindurchgehen, heißen die Kreispunkte der Ebene.
Senkrechte Richtungen sind also solche, welche harmonisch zu den
Kreispunkten sind, und durch zwei Paare senkrechter Richtungen
werden die Kreispunkte als gemeinsames harmonisches Paar indirekt
gegeben. Die Konstruktion der senkrechten zu einer gegebenen Rich-
tung ist nichts anderes, als die Konstruktion der vierten harmonischen,
wenn ein Paar indirekt, nämlich als gemeinsames harmonisches zweier
Paare gegeben ist.
Die hier gegebene Begründung der Theorie der Kreispunkte ist
unabhängig von der Theorie der Kegelschnitte, da die dabei benutzten
Polareneigenschaften sich auch direkt aus dem Satze des Apollonius
ergeben. Kommt es nicht auf eine solche unabhängige Begründung
an, so folgt natürlich aus der Involution der konjugierten Durchmesser
der Satz, daß aus AOA'= BOB'=1 Rechten auch COC-1 Rechten
folgt usw.¹)
Nunmehr sind diejenigen Punkte und Geraden zu charakterisieren,
20
Dz
Q"
B
P
welche sich durch metrisch
lineare Konstruktion aus
gegebenen Punkten und
Geraden ergeben (das me-
trisch-lineare Netz). Dazu
führen wir metrische Ver-
hältniskoordinaten ein. Da
mindestens drei nicht in
einer Geraden liegende
Punkte gegeben sein
müssen, nehmen wir drei
solcher Punkte A, B, C und das von B auf AC gefällte Lot BO,
und definieren
C
0
D₁ P Q
A
1) Dies ist der Beweis des Bodenmillerschen Satzes von Chasles (Géo-
metrie supérieure, 2. Aufl., Chap. XVIII, art. 345).