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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
a = a', bb' gleiche Summen a + a' = b + b' ergeben. Auch be-
folgt diese Addition das kommutative ¹) und das assoziative 2) Gesetz:
a+b=b+a, a + (b + c) = (a + b) + c,
wie fast unmittelbar zu sehen ist.
Die Konstruktionen, die sich aus den projektiven linearen durch
Hinzunahme der Streckenaddition ergeben, sind identisch mit den
affinen linearen Konstruktionen.
R
Denn wird erstens die Streckenaddition als möglich vorausgesetzt,
und soll durch P zu [QR] die Parallele
gezogen werden, so ist O derart zu finden,
daß
RO RPR Q
==
ist; dann ist PQ die gesuchte Parallele zu QR.
Zweitens zeigen wir, daß die durch Paralleleziehen entstehenden
Schnittpunkte durch bloße Streckenaddition gefunden werden können.
Ist nämlich X der Schnittpunkt der Geraden [QR] mit der
durch P gezogenen Parallelen zu [QS], so ergibt sich X auch durch
die folgende Konstruktion, welche außer dem Verbinden und Schneiden
nur die Streckenaddition voraus-
R X
setzt:
QT
=
QR + QS,
U = ([PT], [QR]),
V
UV
URUT,
W = ([UV], [PR]),
X = ([QR], [TW]).
Affine Begriffe und Sätze und affin lineare Aufgaben.
Der affine Satz des Ceva lautet: Das Produkt der drei Schnitt-
verhältnisse (BCA′) (CAB′) (ABC'), welche die drei Ecktransversalen
eines Punktes D auf den drei Dreiecksseiten bestimmen, ist gleich
minus Eins); zum Beweise multipliziere man (BCA') = BAD: CAD¹)
mit den zwei analogen Identitäten. Der früher benutzte projektive
Satz ergibt sich aus diesem durch Dividieren der Identitäten für D
und P. Rückt D in den Schwerpunkt, wird also
1) Eingeführt von Servois, Gergonnes Ann. V (1814), p. 93.
2) Wohl zuerst von Sir W. R. Hamilton eingeführt (vgl. H. Hankel,
Vorlesungen über die komplexen Zahlen und ihre Funktionen. Teil I, Leipzig
1867, p. 3).
3) Desargues l. c. I, p. 215 ff., 291 ff. De la Hire 1. c. lib. II, prop. 6, 10 usw.
4) Dabei ist den Dreiecksinhalten BAD usw. ein bestimmtes Vorzeichen
beizulegen, je nachdem der durch die Folge B, A, D gegebene Drehungssinn
mit einem in der Ebene festgesetzten übereinstimmt oder nicht (vgl. Möbius
1. c., § 17).