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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
Konstruktion rationaler Funktionen von Verhältnissen.
I. Das Negative eines gegebenen Verhältnisses (ABC) zu
konstruieren.
Man konstruiere X so, daß A, B, C, X harmonisch liegen,
dann ist:
(ABX) =
=
- (ABC).
II. Das Reziproke eines gegebenen Verhältnisses (ABC) zu
konstruieren.
Man konstruiere X aus:
1
(ABX) = (BAC)
-
(ABC)
(wegen (1)).
III. Die Ergänzung eines gegebenen Verhältnisses (ABC) zu
1 zu konstruieren.
Man konstruiere X aus:
1-(ABC) (wegen (1)).
(ABX) = (ACB) = 1 —
IV. Den Quotienten der Verhältnisse (ABC) und (ABE) zu
konstruieren.
Man konstruiere X aus:
(ABCE) = (ABXU),
wo U der unendlich ferne Punkt der Geraden [AB] ist; dann ist:
(ABX) der gesuchte Quotient.
V. Das Produkt zweier Verhältnisse wird nach IV. und II.
konstruiert.
VI. Die Differenz zweier Verhältnisse wird nach IV., III. und
V. konstruiert.
VII. Die Summe zweier Verhältnisse wird nach VI. und I.
konstruiert.
Also kann man durch bloßes Verbinden, Schneiden und Parallele-
ziehen jede rationale Funktion von Verhältnissen als Verhältnis kon-
P2
C
Q"
A
B Ꭱ
struieren.
Um die Umkehrung dieses Satzes zu
beweisen, führen wir affine oder Verhältnis-
koordinaten ein. Da mindestens drei nicht
in einer Geraden liegende Punkte gegeben
sein müssen, legen wir drei solcher Punkte
A, B und C dem Koordinatensystem zu-
grunde. Dann sind die Koordinaten eines
beliebigen Punktes P die Verhältnisse: