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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
genommen, man hätte zu den zwei gegebenen parallelen Geraden G
und zwei sie schneidende parallele Gerade durch bloße Lineal-
konstruktion gefunden, so würden durch Zentralprojektion der Kon-
struktion auf eine zu und § parallele Ebene die Parallelen G
und in zwei parallele, die beiden andern Geraden dagegen in zwei
nicht parallele Geraden übergehen, während doch eine solche Kon-
struktion projektiv sein müßte.
Sind dagegen zwei Paar Parallelen A || A', B || B' gegeben, die
ein Parallelogramm bilden, so bestimmen zwei Seiten desselben und
die Parallele zu ihnen durch den Mittelpunkt des Parallelogramms
auf jeder Geraden eine halbierte Strecke, so daß auch allgemein zu
jeder Geraden durch jeden Punkt mit dem Lineal allein eine Parallele
gezogen werden kann.
A'
Aber das Paralleleziehen erfolgt direkter und einfacher nach dem
Desargueschen Satze. Ist ABC das Drei-
eck ABC und C’= (A′B′), so nehme man
S auf [CC'], dann ist
B'
C-[([SA]')(SBA)]
parallel zu C, da die Verbindungsgeraden [AA], [BB′], [CC′] ent-
sprechender Ecken der Dreiecke ABC, A'B'C' durch einen Punkt S
gehen, also die Schnittpunkte (AA), (BB′), (CC) auf einer, in
diesem Fall unendlich fernen Geraden liegen müssen. Dieser zweite
affine Spezialfall folgt vermittels des sog. Proportionallehrsatzes ohne
weiteres aus SA: SA' SC: SCSB: SB'; auch aus diesem spezi-
ellen Fall ergibt sich der allgemeine durch Projektion.
Ein Paar Parallelen bestimmt als Schnittpunkt einen Punkt auf
der unendlich fernen Geraden, eine halbierte Strecke bestimmt einen
solchen Punkt als vierten harmonischen zu drei gegebenen. Durch
zwei Paar Parallelen bzw. halbierte Strecken werden also zwei Punkte
der unendlich fernen Geraden, also diese selbst indirekt gegeben.
Statt zweier Parallelenpaare kann natürlich auch ein Parallelen-
paar und eine rational geteilte Strecke (in anderer Richtung) ge-
geben sein; oder auch drei Parallele, die eine vierte Gerade in ratio-
nalem Verhältnisse schneiden; oder auch zwei parallele Strecken
AB || CD, die in rationalem Verhältnis a: b zueinander stehen. Denn
der letzte Fall kommt auf den vorhergehenden zurück, wenn man
durch T([AC][BD]) die Parallele zu [AB] zieht; dann hat man
drei Parallele, die ATC im rationalen Verhältnis
schneiden.
AT: TC AB: CD a: b
Um die Punkte und Geraden zu charakterisieren, welche aus ge-