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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
,,Parallel“ heißen Gerade mit unendlich fernem Schnittpunkt.
Der unendlich ferne Punkt paralleler Geraden heißt ihre „Richtung".
D
P
S
U
Der Begriff parallel" hängt
aufs engste zusammen mit
dem Begriff,,gleiche Strecken
einer Geraden".
Sind nämlich die Geraden
[AB] und [CD] parallel, also
ihr Schnittpunkt U unendlich.
fern, so sind (nach S. 6) die
vier Punkte A, B, Q, U har-
monisch, d. h.:
AQ
AU
= -
=
BQ
1,
BU
B'
B
also
AQ = QB.
Sind also die zwei Parallelen
gegeben, so kann man auf ihnen.
jede Strecke, z. B. AB auf &, halbieren: Nach Wahl von S ist der
Halbierungspunkt ·
Q = ([AB][S([B([SA]§)][A([BS]§)])]).
=
Umgekehrt folgt aus AQ QB die Parallelität von [AB] und [CD].
Ist aber die halbierte Strecke AQB gegeben, so kann man zu
[AB] durch einen beliebigen Punkt C die Parallele ziehen: Nach
Wahl von S auf [BC] findet man einen Punkt D der gesuchten
Parallelen aus
D
-
· ([AS] [B([AC][QS])]) ·
Die Gleichheit zweier Strecken AA' und B'B einer Geraden wird da-
durch definiert, daß die Strecken AB und A'B' denselben Mittel-
punkt haben sollen. Man kann also die Strecke AA' an B an-
tragen, wenn eine dazu parallele Gerade oder der Mittelpunkt
AB gegeben ist:
=
B'= ([AB][D([A'C][S QI)]) ·
•
von
Man kann ferner unter denselben Voraussetzungen eine Strecke ver-
n-fachen (CC, C₁C₂ = C₂ C₁ = C-1D), also auch eine Strecke,
z. B. AB, in n gleiche Teile teilen, indem man die Teilpunkte C₁,
C2, C-1 der Strecke CD von S = ([AD][BC]) aus auf [AB]
projiziert. Also kann man überhaupt das fache einer gegebenen
Strecke auf derselben Geraden konstruieren.
man
m
N
Umgekehrt, ist eine rational geteilte Strecke gegeben, so kann
zu ihr Parallele ziehen. Denn ist das Verhältnis von AC: CB