Kapitel I. Projektive lineare Konstruktionen.
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konjugierten Punkten liegt also jeder auf der Polare des andern.
Ebenso sind konjugierte Gerade solche, von denen jede durch den
Pol der andern geht. Die Polare geht durch die Berührpunkte der
durch den Pol gehenden Tangenten. Tangente und Berührpunkt sind
polar zueinander. Die Gleichung der Polare eines Kegelschnittpunktes
ist die Gleichung seiner Tangente. Jede Tangente ist sich selbst
konjugiert.
4. Ein Dreieck heißt „Poltripel", wenn jede Ecke Pol der Gegen-
seite ist. Wählt man ein Poltripel zum Koordinatendreieck ABC,
so hat die Kegelschnittsgleichung die Form ax²+ by²+ c = 0. Denn
dem Punkte A(∞, 0) ist der Punkt C(0,0) konjugiert; das gibt
с +e=0, also e = 0; ebenso folgt d0 daraus, daß die Punkte
B(0, ∞) und C(0,0) konjugiert sind, und drittens f= 0 daraus, daß
die Punkte A(∞, 0), B(0, ∞) konjugiert sind.
TA
5. Sind aber [AC], [BC] Tangenten, A, B die Berührpunkte, so
hat die Gleichung die Form c+2fxy=0, denn weil A und B zu C
konjugiert sind, muß wie oben d= 0, e0 sein, die Tangente in A:
a x x + byy+c+f(xy¸+yx¸) = 0
A
soll [AC] mit der Gleichung y=0 sein, also muß a = 0, ebenso
b=0 sein. Ebenso wird die Gleichung ax²+2dy=0, wenn [AC]
und [AB] Tangenten sind, B, C ihre Berührpunkte.
6. Konstruktion des Pols zu einer gegebenen Geraden, der Polaren
eines gegebenen Punktes in bezug auf einen durch fünf Punkte oder
Tangenten gegebenen Kegelschnitt.
7. Konstruktion von Punkten und Geraden eines Kegelschnitts,
wenn fünf Paare konjugierter Punkte (oder Tangenten) gegeben sind,
oder wenn drei Poltripel gegeben sind.
8. Wenn von einem Kegelschnitt vier Punkte und die Tangente in
einem oder drei Punkte und die Tangenten in zweien, oder drei Tan-
genten und die Berührpunkte zweier, oder vier Tangenten und der
Berührpunkt einer gegeben sind, weitere Punkte und Tangenten der-
selben zu konstruieren.
9. Wenn von zwei Kegelschnitten je zwei Punkte oder Tangenten
bzw. eine Tangente mit Berührpunkt und drei Schnittpunkte (drei
Tangenten), oder wenn sie sich berühren, die Tangente, der Berüh-
rungspunkt und ein Schnittpunkt (eine gemeinsame Tangente) ge-
Aufgabe usw. durch Vertauschung der Worte Punkt und Gerade ein polarer Satz
usw. hervorgeht, z. B. aus dem Pascalschen der Brianchonsche; dasselbe ohne
Bezug auf einen Kegelschnitt leistet Gergonnes Dualitätsprinzip (Ann. 16 (1826),
p. 209; 17, p. 216). Reziproke Figuren nennt Chasles,,korrelativ", Chasles, Géom.
sup., p. 413. Steiner, Syst. Entw., p. 165. Hesse, Crelles J. 18 (1838), p. 102,
20 (1840), p. 291, 36 (1848), p. 146.
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