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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
genten und soll durch den Punkt (05) auf 5 die Tangente O kon-
struiert werden, so ergibt sich diese gleich:
[([([(23), (05)], [(12), (45)]), (34)], 1), (05)];
ebenso ist der Berührpunkt auf der Tangente 5 gleich:
([([(12) (45)] [(34) (15)]) (23)]5).
Diese Formeln unterscheiden sich von denen bei fünf gegebenen
Punkten nur durch die Vertauschung der Zeichen () und [].
Projektive Begriffe und Sätze und projektiv lineare Aufgaben.
1. Konstruktion des vierten harmonischen P' zu drei Punkten X,
Y, P, wenn X, Y als Doppelpunkte einer Projektivität
gegeben sind.
(ABCZ) = (A'B'C'Z')
2. Zwei Punkte A, A' heißen „konjugiert harmonisch" in bezug
auf einen Kegelschnitt, wenn AA' durch den Kegelschnitt harmonisch
geteilt wird. Jeder Punkt auf der Geraden durch A(x, y), A′(x', y′)
x+2x' y+λy'
ist nach (8) durch
gegeben. Den Schnittpunkten
1+2
P₁(x₁Y₁), P₂(XY) von [AA′] mit dem Kegelschnitt
ax² + by²+c+ 2dy + 2ex + 2fxy = 0
entsprechen diejenigen Werte 21, 22 von 2, für die
a (x + 2x)² + b(y + λy')² + c(1 + 2)² + 2 d (y + λ y') (1+2)
+ 2e(x+λx') (1+ λ) + 2f(x + 2x') (y + λy') = 0
ist. P₁, P liegen harmonisch zu A, A', wenn
-
-
PA PA
PA PA
1,
=
0
also (x, xxx)= 1, also wegen (9) 2₁ + 2 = 0, also
axx' + byy+c+d(y+y') + e(x+x) + f(xy'+x'y)
ist. Dies ist also die Beziehung zwischen zwei konjugierten Punkten.
Jeder Punkt des Kegelschnitts ist sich selbst konjugiert.
3. Demnach liegen alle konjugierten Punkte zu A' auf einer Ge-
raden, deren Gleichung die eben hingeschriebene ist. Diese heißt die
„Polare“¹) von A' und A' der „Pol“ 2) dieser Geraden. ³) Von zwei
1) Servois Gerg. Ann. I (1810 u. 1811), p. 337.
2) Gergonne Gerg. Ann. III (1812, 1813), p. 293. Rochat, p. 303, Puis-
sant, p. 371.
3) Appollonius (lib. III, prop. 37). Pappus (1. c., p. 905). Namentlich De-
sargues, Brouillon project. (Oeuvres I). De la Hire, Nouv. math. en géom. (Paris
1673), Sectiones conicae (Paris 1685). Poncelet (Traité 196) u. Crelles J. IV (1829),
p. 1 gründet darauf sein,,Polaritätsprinzip", demzufolge aus jedem Satz, jeder