Kapitel I. Projektive lineare Konstruktionen.
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einer Geraden liegen) eindeutig bestimmt ist und sich zwei Kegel-
schnitte in höchstens vier Punkten schneiden können. Sind die Punkte
1, 2, 3, 4, 5 und die Gerade [05], aber nicht der Punkt 0 gegeben,
so erhält man den Punkt O des Kegelschnitts aus:
0 = ([([([12],[45]), ([23], [05])], [34])1][05]).
Ebenso kann man die Tangente in einem der fünf Punkte kon-
struieren. Läßt man nämlich den Punkt 0
in den Punkt 5 rücken, so geht die Sekante
[05] in die Tangente des Punktes 5 über.
In dem Fünfeck 12345 muß der
Schnittpunkt der Tangente in 5 und der
dem Berührungspunkte 5 gegenüberliegen-
den Seite [23] mit den Schnittpunkten
der Gegenseiten [51], [34] und [12], [45]
auf einer Geraden liegen. Daraus ergibt sich
die Konstruktion der Tangente im Punkte 5:
[([([12], [45]), ([34], [15])], [23]), 5].
5,0
Weitere Sätze ergeben sich durch Verkümmerung von zwei oder drei
Seiten.
Die Koeffizienten,
einer Tangente genügen der Gleichung ¹):
ميد
a fe ૐ
fb d
η
0,
die entwickelt gebe:
e d с 1
ξη 1 0
cty to +20+2 +25%n=0,
die Gleichung des Kegelschnitts als Enveloppe von Geraden ist also
ebenfalls vom zweiten Grade: der Kegelschnitt ist eine Kurve zweiter
Klasse, durch jeden Punkt gehen zwei Tangenten an ihn.
Der zum Pascalschen duale Brianchonsche Satz lautet): Die drei
Hauptdiagonalen eines dem Kegelschnitt umbeschriebenen Sechsecks gehen
durch einen Punkt.
Dieser Satz gestattet die Konstruktion einer sechsten zu fünf ge-
gebenen Tangenten oder des Berührungspunktes auf einer von fünf
gegebenen Tangenten: Sind nämlich 1, 2, 3, 4, 5 die gegebenen Tan-
1) S. z. B. R. Baltzer, Analytische Geometrie (Leipzig 1882), p. 219.
2) Brianchon, J. de l'Éc. polyt. Cah. 13 (1806), p. 301; Corr. de l'éc. pol.
(1806, 1807). Der eleganteste analytische Beweis folgt aus einem allgemeineren
Satz von Plücker, Analyt. geom. Entwick. I, Art. 385.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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