Kapitel I. Projektive lineare Konstruktionen.
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her vorhandenen Doppelverhältnisse sind. Schließlich ist auch noch
das Doppelverhältnis (PP'P"P"") von vier konstruierten Punkten
einer Geraden gleich dem Doppelverhältnis (xx'x"x"). Analog für
Gerade.
Wir nennen die Doppelverhältnisse, die durch gegebene bzw.
durch gegebene und konstruierte Punkte und Geraden geliefert werden
(wozu also auch die Koordinaten gehören), gegebene bzw. konstruierte
Doppelverhältnisse.
Durch projektiv-lineare Konstruktion werden also alle und nur
die Doppelverhältnisse konstruierbar, welche rational von den gegebenen
abhängen (projektiv lineares Netz).
Begriffe, Sätze und Aufgaben aus der Theorie der Kegelschnitte.
Ein Kegelschnitt, eine Kurve zweiter „Ordnung", hat mit jeder
Geraden zwei Punkte gemein und wird durch eine Gleichung zweiten
Grades f(x, y) = 0 zwischen den Koordinaten x, y definiert; da eine
solche von fünf Koeffizientenverhältnissen abhängt, ist ein Kegelschnitt
durch fünf beliebige Punkte (von denen nicht vier in einer Geraden
liegen) eindeutig bestimmt. Nimmt man insbesondere die vier Punkte
A, B, C, D des Koordinatensystems auf dem Kegelschnitt an, so muß
die Gleichung zweiten Grades die Form annehmen:
=
xyzy ux 0,
- —
mit 2+μ=1. Man erkennt dies, indem man in die Gleichung f(x, y)=0
die Koordinaten der vier Punkte:
Ꭺ
=
-
D
XD
4{30}, B{%= 0}, {%= 0}, {%=1}
A
A
y A
=
-
'
В
YB ∞
Ус
YD
einsetzt. Für irgendeinen Punkt P(x, y) des Kegelschnitts ist:
P(CDAB) = A(CDPB) · B(CDAP)
1
1
x
-
=
1
1-
Y
folglich sind
1
1
2
2,
1- 2,
2
2 1
1
--
die sechs Werte des Doppelverhältnisses der von P nach A, B, C, D
gezogenen Graden. Die Konstanz dieses Doppelverhältnisses für jeden
Punkt des Kegelschnitts ist die projektive Fundamentaleigenschaft des
Kegelschnitts.) Sie liefert eine doppelte Art der Kegelschnitterzeugung:
1) Der Ursprung dieser Erkenntnis ist in zwei von Pappus (1. c. p. 653/55)
überlieferten Euklidischen Porismen zu erblicken.