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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
gebenen und zu konstruierenden Punkte und Geraden projektive oder
Doppelverhältniskoordinaten ein. ¹)
Um durch Verbinden und Schneiden neue Punkte zu finden,
müssen mindestens vier Punkte A, B, C, D gegeben sein, von denen
keine drei in einer Geraden liegen. Solche vier Punkte wählen wir
als Grundpunkte der folgenden Doppelverhältniskoordinaten.
B"
21
P
B
ದ.
Wir setzen für irgendeinen Punkt P:
x = B(ACDP),
D
-A
y = A(BCDP);
ૐ
==
und irgendeine Gerade :
§ = B(ACDQ),
77
=
A(BCDQ);
2B
darin bedeuten A, B, C die Seiten des Dreiecks ABC; A', B', C' die
Punkte (A[AD]), (B[BD]), (C[CD]), D die Gerade A"B", worin A'A″
die Strecke BC und B'B" die Strecke AC harmonisch teilt.
=
-
=
Insbesondere ist für alle Punkte auf [AC] y=0, für alle Punkte
auf [BC] x = 0 zu setzen, und für alle Punkte auf [AB] wird x = ∞,
y = ∞, für D wird x y= 1. Ferner ist = 0, n ∞ für [AC]
und = ∞, = 0 für [BC], § = 0, n = 0 für [AB].
Infolgedessen heißt C der Nullpunkt, D der Einheitspunkt, [AC]
die x-Achse, [BC] die y-Achse, [AB] die Fluchtlinie, A der Flucht-
punkt der X-Achse, B der Fluchtpunkt der Y-Achse.
n
1) Koordinaten einer Geraden (und Ebene) führte J. Plücker ein (Crelles
J. V (1829), p. 1, VI (1829), p. 107) Werke I (Leipzig 1895), p. 124, 178; Ana-
lytisch-geometrische Entwicklungen II (Essen 1831). Dem herrschenden Ge-
brauch entgegen, nach welchem projektive Koordinaten immer in homogener
Form angenommen werden, wird hier gezeigt, daß auch nicht homogene dieselben
Dienste leisten. Natürlich nehmen diese auch den Wert o an.