Kapitel I. Projektive lineare Konstruktionen.
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sind dann je zwei entsprechende Punkte wie AA' harmonisch zu X, Y.
Entsprechend gibt es in einer Strahleninvolution oder -projektivität
ein Paar sich selbst entsprechender Strahlen.
Unter dem Antragen eines Doppelverhältnisses (PQRS) an drei
Punkte ABC einer Geraden verstehen wir die Konstruktion des-
jenigen Punktes D, für den
ist.
(ABCD) = (PQRS)
Hierzu wähle man auf [AP] zwei willkürliche Punkte O und 0,
und finde der Figur entsprechend:
01
୧
D = ([AB][0([0,8][([0, Q][OB]) ([0, R][OC])])]).
Dabei wurden die beiden Geraden [PQRS] und
[ABCD] als verschieden angenommen. Sonst über-
trage man das Doppelverhältnis (PQRS) erst auf
eine von [ABCD] verschiedene Gerade. In der Tat-
sache, daß durch beliebiges Übertragen eines Doppel-
verhältnisses, wenn man dasselbe schließlich an die
drei Punkte A, B, C anträgt, stets derselbe vierte
Punkt D gefunden wird, besteht der sog. „projektive A
Fundamentalsatz". Hier ergibt sich derselbe ohne
weiteres daraus, daß aus der Gleichung
=
(abcd) 2 oder
b C b
a-c a - d
d
λ
-
:
sich als linear gebrochene Funktion von λ, also
eindeutig aus a, b, c, 2 bestimmt.¹)
Das Doppelverhältnis
a- с
:
a d
b с b d
E
R
H
G
F
B C D
bleibt offenbar ungeändert,
wenn man jede der 4 Abszissen abcd um dieselbe Größe vermehrt
oder vermindert, oder mit derselben Größe multipliziert oder dividiert,
d. h. wenn man auf jede der 4 Größen dieselbe affine Transformation
xax +ẞ ausübt. Es bleibt aber offenbar auch dann ungeändert,
wenn man jede der vier Größen durch ihre Reziproke ersetzt, d. h.
bei der inversen Transformation
х
x
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folglich auch bei jeder beliebigen projektiven Transformation
α x + ß
7x+89
(ad—ßy+0) (6)
denn es ist
α
βγ
αδ
ax+в
7x+8
- (y x + d) +
?
α
βγαδ
+
7x+8
v (v x+8)
1) Möbius 1. c., § 182.