Kapitel I. Projektive lineare Konstruktionen.
5
x + y
2
Ferner wird
aa'- bb'
=
(a+a')-(b+b')' xy=
-
2
-
aa' (b+b)-bb' (a+a')
(a+a')-(b+b')
(x — y) ³ — ( a − b ) (a — b') (a´ —b) (a´—b′)
³ _ − ( − (
2
=
((a+a'))-((b+b'))
"
woraus hervorgeht, daß bei reellen a, a, b, b' auch x und y reell
sind, wenn und nur wenn dieser letztere Ausdruck größer als O ist,
also wenn und nur wenn a und a' beide zwischen oder beide nicht
zwischen b und b' liegen, ferner auch wenn von den beiden Paaren a,
a' und b, b' das eine aus zwei konjugiert imaginären Zahlen, das
andere ebenfalls aus zwei konjugiert imaginären oder aus zwei reellen
Zahlen besteht.
Das Doppelverhältnis der vier Geraden A, B, C, D des Punktes
S ist¹):
sin (AC) sin (AD)
:
sin (BC) sin (BD)'
(ABCD)
=
Dabei ist unter (AC), usw. der Winkel der Geraden und C mit
einem bestimmten Vorzeichen, entsprechend einem willkürlich fest-
gesetzten Drehungssinn um den Punkt S zu verstehen, so daß also z. B.:
-
=
(BA),
(AC),
(AB)
(AB) + (BC)
(AB) + (BC) + (CA) = 0
ist, wobei von Vielfachen von 4 Rechten abgesehen wird. Der so
definierte Winkel (AB) ist noch zweideutig, da es zwei Winkel gibt,
um die A in gegebenem Drehungssinn gedreht mit B zur Deckung
kommt. Er wird eindeutig bestimmt, wenn man noch auf jeder der
beiden Geraden einen Fortgangssinn festsetzt und verlangt, daß die
Drehung die beiden Geraden auch ihrem Sinne nach zur Deckung
bringt. Für das Doppelverhältnis ist diese Unterscheidung unnötig,
sin AC
da z. B. der Quotient bei Änderung des Sinnes auf C unver-
sin BC
ändert bleibt. Werden die vier Geraden A, B, C, D von einer be-
liebigen fünften, nicht durch den Punkt S gehenden Geraden & in
den vier Punkten A, B, C, D geschnitten, so ist 2):
S(ABCD) = (ABCD) = (ABCD),
wie man durch Einsetzen von
(5)
usw. verificiert.
2. SA SC sin (AC)
AC:
=
SG
1) Carnot, Transvers. 1806, p. 7. Poncelet, Traité, p. 9. Steiner,
Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von ein-
ander (Berlin 1832), p. 7 = Werke I (Berlin 1881), p. 244.
2) Siehe Pappus 1. c., p. 871, 891.