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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
also bei jeder Lage von A, B, C immer
AB + BC
AC,
also
ist.¹)
AB+BC+ CA=0
Dann gelten für Doppelverhältnisse die folgenden beiden funda-
mentalen Relationen:
=
1,
(ABCD) + (ACBD):
(ABCD). (ABDC)=1.
Die zweite dieser Relationen ist auch in der allgemeineren Form
(ABCD) (ABDE) = (ABCE),
(1)
(2)
aus der für EC die speziellere folgt, unmittelbar evident; die erste
folgt aus der Identität:
AB · CD + BC · AD + CA · BD = 0,
von deren Richtigkeit man sich überzeugt, indem man in ihr
einsetzt.
ABAD- BD,
BCBD CD,
CA CD-AD
=
Zufolge der zulässigen Vertauschungen werden die 24 Doppel-
verhältnisse, zu denen die vier Punkte A, B, C, D infolge der 24 Per-
mutationen Veranlassung geben, zu je vier einander gleich, und der
Zusammenhang zwischen den sechs verschiedenen Werten ergibt sich
aus den Relationen (1). Es wird nämlich für (ABCD) = 2:
(ABCD) = (BADC) = (CDAB)
(CDAB) = (DCBA) = λ,
(ABDC) = (BACD) = (CDBA) = (DCAB) = 1,
=
2
(ACBD) = (BDAC) = (CADB) -
(CADB) = (DBCA) — 1 — λ,
(ADBC) == (BCAD) = (CBDA) = (DACB) = 1 — 1, .2) (3)
(ACDB) = (BD CA) = (CABD) = (DBAC)
(ADCB) = (BCDA) = (CBAD) = (DABC)
-
1
1
1
1
1
1) Diese eindeutige Definition der Strecke AB ist zuerst von A. F. Möbius
(Baryzentrischer Kalkul. Leipzig 1827, § 1 = Werke I, p. 25) aufgestellt worden,
nachdem bereits L. N. M. Carnot (Géometrie de position, Paris 1803; Mémoire
sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quel-
conques pris dans l'espace; suivi d'un essai sur la théorie des transversales,
Paris 1806) gezeigt hatte, wie man eine Formel auf alle möglichen Fälle der
Figur durch das „,Prinzip der Korrelation der Vorzeichen“ übertragen könne.
2) Siehe Möbius l. c., § 184.