VI
Vorwort.
wurde. Aber gerade eine solche ist für eine Disziplin, die sich an
die elementaren angliedern soll, ein unbedingtes Erfordernis und zu-
gleich ein Kriterium dafür, daß das Gebiet eine gewisse Reife und
Abrundung erlangt hat.
Die elementare Bestimmung des Buches verlangte elementare
Methoden. Vielfach mußten solche erst erfunden werden, so z. B.
für die schöne Laguerresche Approximation goniometrischer durch
algebraische Funktionen, die schon Hermite einfacher zu begründen
suchte, ferner für das Additionstheorem in der exzentrischen Kreis-
teilung. Das ist das einfache Bild, unter dem ich die Teilung der
elliptischen Funktionen der Elementarmathematik einverleibe. Auch
in der niederen Analysis mußten oft neue Wege eingeschlagen werden.
Für die Transzendenz von e und hatte ich schon im Jahre 1900
einen elementaren Beweis beigebracht. In diesem Buche wird nun-
mehr gezeigt, daß die einfachen Gedanken, auf denen er beruht, im
Grunde schon in den Beweisen von Lambert und Hermite für die
Irrationalität von л und 2 enthalten sind.
Von Interesse ist vielleicht noch die elementare Einführung der
Kreispunkte, der Winkel und Strecken als Logarithmen von Doppel-
verhältnissen, die Quadratur der Hyperbelsektoren ohne verkappte
Integration, die eigentümliche mechanische Quadratur und Rekti-
fikation beliebiger Kurven, wie sie sich aus gewissen -Formeln von
Lambert gewinnen läßt.
Die elementaren Methoden werden heute vielfach vernachlässigt,
ihre Tragweite unterschätzt, weil man sie zu beherrschen verlernt.
hat. Denn daran liegt es doch, daß die auf elementarem Wege er-
kennbare Transzendenz von e und zuerst nach Überwindung großer
Schwierigkeiten auf einem außerordentlichen Umwege gefunden wurde¹);
oder daß so manche zu den Zeiten eines Fermat bewiesene Sätze, z. B.
die über die Mersenneschen Primzahlen heute für uns unbeweisbar
sind. Die elementaren Methoden, von den älteren Mathematikern mit
Virtuosität gehandhabt, sind uns nicht ebenso geläufig. In der Über-
schätzung des Neuen haben wir das bewährte Alte vernachlässigt.
Und wir gehen sogar so weit auch auf der Schule, zugunsten einiger
sehr bescheidener Teile neuerer Methoden, die alten noch weniger
behandeln zu wollen; statt sie vielmehr tiefer, gründlicher, umfassen-
der zu erörtern und ihre weit reichende Anwendbarkeit voll auszu-
nutzen.
1) Hermite äußert sich darüber noch ganz resigniert an Borchardt
(Crelles J. 76 [1873], p. 342): Je ne m'hasarderai point à la recherche d'une
démonstration de la transcendence du nombre я. Que d'autres tentent l'entre-
prise, nul ne sera plus heureux que moi de leur succès, mais croyez m'en, mon
cher ami, il ne laissera pas que de leur coûter quelques efforts.