Größen
29
produkte einer gesteigerten Phantasie, die das der Wahrnehmung
und Vorstellung Unerreichbare rein logisch ermöglichen und erst
haltmachen vor dem logischen Widerspruch. In den mathemati-
schen Kunstprodukten operiert also der Verstand mit etwas, das
der Vorstellung verschlossen ist; dieser Gegensatz zwischen
Verstand und Vorstellung braucht aber deshalb keinen logischen
Widerspruch in den Begriffen zu bedingen. Die Schwierigkeiten,
die der Anfänger in der Mathematik und besonders in der Diffe-
rentialrechnung empfindet, beruhen wohl auf diesem, den ma-
thematischen Idealen eigenen Wesen: logisch erweiterte Vor-
stellungen zu sein. Vaihinger¹ nennt die mathematischen Be-
griffe,,Fiktionen" und drückt damit zutreffend ihre dem Wirk-
lichen inadäquate Beschaffenheit aus.
Um noch ein Beispiel anzuführen, das den Gegensatz zwischen
der Präzisions- und der Approximativmathematik kennzeichnet,
so sei an das bekannte Problem der Dreiteilung des Winkels er-
innert. Die Präzisions mathematik lehrt und vermag zu beweisen,
daß eine scharfe Dreiteilung eines beliebigen Winkels durch
Konstruktion mit geraden Linien und Kreisen unmöglich ist. Die
Approximativmathematik löst dieses Problem wie jedes an-
dere angenähert: man kann durch Ziehen von Geraden und
Kreisen eine näherungsweise Dreiteilung jedes Winkels aus-
führen und kann unter Umständen bei genügend häufiger An-
wendung des Konstruktionsprinzips die Annäherung beliebig
weit treiben. Damit wird allen Ansprüchen, die nur auf nähe-
rungsweise Erreichung des Ziels gerichtet sind, prinzipiell ge-
nügt. — Mit anderen Problemen, z. B. der Quadratur des Kreises,
ist es ebenso.
Die,,angewandte" Mathematik, d. h. die auf Probleme der
Wirklichkeit angewandte Mathematik, bedient sich, je nach Be-
quemlichkeit, der Präzisions- oder der Approximativmathematik.
Um die scharfen Unterscheidungen der Präzisionsmathematik
hat aber eigentlich keine Anwendung nötig sich zu kümmern.
¹ Vaihinger, Philosophie des Als Ob, 2. Aufl. 1913, S. 70 ff.
2 Vgl. z. B. Philosophical Magacine 23, S. 646, 860, 861, 1912.
Gehrcke, Physik und Erkenntnistheorie
3