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A. Allgemeines
tischen Begriffe ins Auge faßt. Alle Begriffe der Geometrie:
Linie, Kugel, Ebene usw., bezeichnen sämtlich ideale Gebilde
von aufs äußerste logisch extrapolierten und interpolierten Vor-
stellungs- oder Wahrnehmungsgebilden; niemand vermag z. B.
eine (unendlich dünne) geometrische Linie in der Wirklichkeit
aufzuzeigen, alle auf den ersten Blick für ,,Linien" gehaltenen
Gebilde der Wirklichkeit haben eine gewisse, wenn auch kleine
Breite: auch der Spinnenfaden hat
eine Dicke. Dementsprechend kann
man unsere obige Betrachtung auch
umkehren und darlegen, daß die
geometrischen Gebilde nur un-
genau vorstellbar sind, daß das
Vorstellungselement des Raumes
y
Fig. 2
nicht ein Punkt, sondern ein sehr kleiner Körper ist. In diesem
Sinne hat sich F. Klein¹ geäußert. Die Ungenauigkeit der vor-
stellbaren Raumgebilde wird nach Klein analytisch dadurch
ausgedrückt, daß jede vorgestellte Kurve ein Kurvenstrei-
fen ist, der durch einen Funktionsstreifen
=
y = f(x) = ε
repräsentiert wird, wo & eine sehr kleine Größe, ein Schwellen-
wert, aber keineswegs o ist (vgl. Fig. 2). Klein führt für die
Mathematik eine Trennung in zwei Gebiete ein: das eine, die
Präzisionsmathematik, arbeitet mit scharfen oder präzisen Be-
griffen und Gebilden; dieses ist diejenige Mathematik, die wir
schon in der Schule zu lernen beginnen. Das andere Gebiet, die
Approximativmathematik, arbeitet mit unscharfen Gebilden,
z. B. mit Funktions,,streifen" statt mit Funktionen. Die Be-
griffe der Präzisions mathematik, wie Punkt, Linie, Differential-
quotient usw., sind logische Erweiterungen von allseitig sehr
kleinen Körpern, sehr dünnen langen Körpern, sehr kleinen Dif-
ferenzverhältnissen usw.; alle diese erweisen sich als logische Kunst-
1 F. Klein, Erlanger Berichte; 1873, S. 5 ff.