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V. Metrische Geometrie.
ist und die Eigenschaft I(P+ Q) = I(P) + I(Q) hat. Ein solches
Inhaltsmaß ist für ein Tetraeder das Produkt aus dem Inhaltsmaß der
Grundfläche und dem Inhaltsmaß der Höhe, d. h. dem Verhältnis der
Höhe zur Einheitsstrecke, für ein Polyeder die Summe der Inhalts-
maße von Teiltetraedern, aus denen es besteht. Das Inhaltsmaß eines
Tetraeders ist unabhängig davon, welche Seite desselben zur Grund-
fläche genommen wird, wie man durch Orthogonal-Projektion des
Tetraeders auf eine zu einer Kante senkrechte Ebene und Anwendung
von 106 erkennt. Das Rechnen mit solchen Inhaltsmaßen, Produkten
von drei Streckenverhältnissen, erfolgt nach 96 ff. Bei einer „trans-
versalen" Zerlegung (d. h. durch Ebenen einer Kante) eines Tetraeders
ist offenbar das Inhaltsmaß des Ganzen gleich der Summe der Inhalts-
maße der Teile. Eine beliebige Zerlegung eines Tetraeders in Teil-
tetraeder läßt sich auf transversale zurückführen*), also ist bei jeder
Zerlegung eines Tetraeders das Inhaltsmaß gleich der Summe der In-
haltsmaße der Teiltetraeder. Schließlich gibt es bei zwei verschiedenen
Zerlegungen eines Polyeders in Teiltetraeder stets eine dritte Zer-
legung, aus der beide durch verschiedenartige Zusammenfassung der
Teiltetraeder hervorgehen.
Ist also jetzt das Polyeder P größer als das Polyeder Q, also
P = P', Q = Q', P' = Q' + R,
so ist auch
also
I(P) = I(Q) + I(R),
I(P) > I(Q).
Ist P = Q, d. h. (Def. 2) weder P > Q, noch P<Q, so ist auch
weder I(P) > I(Q) noch I(P) < I(Q), d. h. I(P) = I(Q). Demnach
sind z. B. Tetraeder mit gleicher Grundfläche und Höhe inhaltsgleich,
und man kann jedes Polyeder in ein inhaltgleiches Tetraeder OABC
mit drei rechten Winkeln bei O und zwei gegebenen Seiten OA, OB
überführen.
Um auch im Nicht-Euklidischen Fall das Inhaltsmaß anzugeben,
würde es genügen, im Euklidischen Raume von vier Dimensionen das
Inhaltsmaß eines „sphärischen" Tetraeders auszurechnen und sich zu
überzeugen, daß dasselbe bei einer transversalen Zerlegung der Summe
der Inhaltsmaße der Teiltetraeder gleich ist.**)
*) Vgl. Schatunovsky, Math. Ann. 57 (1903) p. 496. Veronese, Atti di
R. Instituto Veneto. T. VI. VII. 1894, 1895.
**) Über die Inhaltsbestimmung im Nicht-Euklidischen Fall vgl. F. Dann-
meyer, Die Oberflächen- und Volumenberechnung für den Lobatschefskischen
Raum (Kiel, Doktor-Dissertation 1904). Hier ist auch p. 56, 57 die ältere
Literatur dieses Problems zusammengestellt.