Art. 124-126. 297 eines Polygons uneigentliche Eckpunkte und Kongruenzen zwischen z. T. uneigentlichen Dreiecken auftreten können. Diese Schwierigkeit ist entweder nach 39 ff. zu beseitigen oder durch diejenige Wendung des Gedankens zu vermeiden, durch welche im folgenden die Begründung der Lehre vom Rauminhalt gelingt. Rauminhalt. 125. Die Hilbertsche Definition der Inhaltsgleichheit von Poly- gonen läßt sich nicht in analoger Weise auf den Inhalt von Polyedern ausdehnen, da Dehn*) und Kagan**) gezeigt haben, daß raumgleiche Polyeder existieren, die nicht aus denselben Teilpolyedern additiv und subtraktiv zusammensetzbar sind. Hilbert ist der Ansicht, damit sei „die Unmöglichkeit dargetan, die Lehre von den räumlichen Inhalten so zu begründen, wie dies im vorstehenden für die ebenen Inhalte ge- schehen ist. Hiernach wären zur Behandlung der analogen Fragen für den Raum andere Hilfsmittel, etwa das Cavalierische Prinzip heranzuziehen".***) Daß dies nicht notwendig ist, soll im folgenden gezeigt werden. 126. Es genügt, die folgenden Definitionen zugrunde zu legen: Definition: 1) Ein Polyeder P heißt „kleiner" als ein Polyeder Q (P < Q, Q > P), wenn P und Q resp. aus den- selben Teilpolyedern wie P' und Q' zusammengesetzt sind und P' ganz innerhalb Q' liegt. 2) Zwei Polyeder P, Q heißen „gleich" (P = Q, Q = P), wenn weder P Qist.†) Gegen die Zulässigkeit dieser Definitionen kann nicht eingewendet werden, daß man danach im allgemeinen die Gleichheit zweier Polyeder nicht durch eine endliche Anzahl von Operationen feststellen kann; vielmehr würden sie nur dann unzulässig sein, wenn gleichzeitig P>Q und P