Art. 112-115.
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Schnittgerade der festen Ebenen beider nimmt (resp. eine Gerade der
gemeinsamen festen Ebene), wodurch A und C bestimmt sind. Die
Zusammensetzung der Drehungen erfolgt dann vermittelst
AB A
BC
C
114. Aus 111, 112 folgt, daß jede Kongruenz durch eine Trans-
formation
y = a (+ x + u) a' − 1 = ax + b
2
+j²b'x + a'
repräsentiert wird, wo au = b, j² = 0 ist; die Bewegung
y
ax + b
jab'x + a'
a + bj
kann also wie in 93 durch die „parabolische" Biquaternion
2
mit j² = 0 repräsentiert werden, in welcher a-1b ein Vektor ist.
Führt man statt j jetzt & = ji₁₂ ein, so kann eine beliebige
nichtsinguläre Biquaternion
ε
A + B = (a + a₁₁ + a212 + 12 11 12) + 8 (bo + b₁₁ + b2 12 + 6121112)
durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor ρ + εσ in eine
solche verwandelt werden, in welcher, wie jetzt erforderlich, A-Bi₁₂
ein Vektor, d. h.
abo + a₁b₁ + a2b2 + a12612 = ()
6
ist. Denn die für erhaltene Gleichung (s. 93):
e
2
2
2
(abo+a₁b₁ + a2b2 + a12b12) + (a² + ar² + ar² + a122) 6 = 0
2
hat stets eine Wurzel, wenn nicht a = a₁ = a2 = A12 = 0, also
A + B = B singulär wird. Demnach repräsentiert jede nichtsin-
guläre parabolische Biquaternion eine Bewegung. Man kann bei einer
solchen immer
2
a² + ar²
1
0122
+ a² + a₁
=
1
annehmen, da man dies, wegen a² + ar² + a112 + a122 ≠ 0, durch
einen Faktor stets erreichen kann.
115. Eine beliebige Bewegung ist durch zwei sich in ihr ent-
sprechende kongruente Dreiecke definiert. Geht das Dreieck ABC
durch eine Bewegung in das kongruente Dreieck A'B'C' über, so sei
A diejenige der beiden Geraden, welche den kürzesten Abstand p der
Geraden [AB] und [A'B'] senkrecht halbieren und in den Hal-
bierungsebenen der Winkel der Ebenen {p [AB]} und {p [A'B']}
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