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V. Metrische Geometrie.
In dieser Kongruenz entspricht dem Punkte (x = 0, x₁ = 0, x = 0)
der beliebige Punkt (Uo, U1, U2, 43); dieselbe kann als Schiebung be-
zeichnet werden.
93. Aus einer Schiebung, einer Drehung und eventuell einer
Spiegelung läßt sich offenbar jede Kongruenz zusammensetzen. Dem-
nach sind in
+x+u a-1
y = a 1 + jux
alle automorphen Transformationen von
xx' = j²
also alle Kongruenzen enthalten. Die bloß aus Schiebungen und
Drehungen zusammengesetzten Kongruenzen sollen Bewegungen heißen;
die anderen Symmetrien.
94. Setzt man au = b, also a'u' = b', so kann die Transfor-
mation*):
oder
y = a ·
y =
x+u
j'u'x+1
ax+b
jbx+a
a'-1
durch die „Biquaternion" a + bj repräsentiert werden, für welche
noch i₁j + ji₁ = i₂j + ji₂ = 0 festgesetzt wird. Der aus zwei Trans-
2
formationen
y
ax+b
j²b'x + a'
2 =
cy + d
j²ď'y + c
zusammengesetzten Transformation
Ax + B
#=jBx + A'
entspricht das Produkt der zugehörigen Biquaternionen:
A + Bj = (c+dj) (a+bj).
Eine Biquaternion a + bj heißt elliptisch im Falle j² = − 1, hyper-
bolisch im Falle j² = 1, (parabolisch im Falle j² = 0).
Aber nicht jede Biquaternion
(a + i₁ a₁ + iza₂ + i₁ is a₁₂) + (b + i b₁ + izb₂ + 112612) j
repräsentiert eine Kongruenz, sondern nur diejenigen, für welche
*) Vgl. hier und im folgenden des Verfassers Aufsätze: Über komplexe
Zahlen in mehr Dimensionen (Königsberger Physikalisch-ökonomische Gesell-
schaft 1898). Über Bewegungen und komplexe Zahlen (Math. Ann. 55, 1902, p. 585).