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V. Metrische Geometrie.
1
+1
= 2 + ن = 1 + ²ون = 0
2
genügen.
Die Transformation
Xo-
Xo
X1
X1
X2-X2
X3 X3
=
ist offenbar eine Kongruenz. In derselben entspricht jeder Punkt der
Ebene X3
O sich selbst. Ist also PQ das von einem beliebigen
Punkte auf diese Ebene gefällte Lot, so entspricht sich selbst, also
Peinem Punkte P', so daß P'Q = PQ und senkrecht zur Ebene
X3
O ist. Diese Kongruenz ist also eine Spiegelung an dieser Ebene.
Sie kann auch durch
=
repräsentiert werden.
X
X
91. Eine Kongruenz, in welcher der Punkt A3 (x=0, x₁ = 0,
X2 = 0) sich selbst entspricht, werde bestimmt durch Angabe zweier
sich in ihr entsprechenden Halbgeradenpaare G, H und G', ' von A3.
Die Ebenen, in bezug auf welche & und &', resp. H und H' Spiegel-
bilder voneinander sind, mögen sich in einer Geraden A schneiden.
Ordnet man jeder Halbebene E von A eine Halbebene E' von A so
zu, daß der Winkel EE' dem Winkel der Ebenen {GA}, {G'A}
gleich ist, und jeder Halbgeraden von E eine Halbgerade t' von
E, so daß der Winkel KA dem Winkel K'A gleich ist, und jedem
Punkte P von einen Punkt P' von K', so daß A3P = A3 P' ist,
so wird dadurch eine Kongruenz bestimmt, in welcher G, H resp.
S', H' entsprechen. Aus dieser Kongruenz erhält man eine zweite
solche durch Spiegelung an der Ebene {G'H'}. Von dieser Spiege-
lung abgesehen ist diese Kongruenz also eine Drehung um die Ge-
rade A als Achse. Sind
A₁ X1 + A2X2
A1X0 - A12X2
A2X0 + A12X1
=
=
=
0
0
0
die Gleichungen dieser Geraden, so wird jede Drehung um A durch
eine Transformation dieser Form:
aoYo + a₁Y1 + A2 Y₂ = axo - A1 X1
- a₁Yo + aoY1 + A12 Y2 = A1X0 + A0X1
- A2Yo - A12Y1 + aoY2
=
-
A2 X2
A12 X2
A2Yo - A12 Y1 + aoY2