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V. Metrische Geometrie.
B
66. Satz: Ist die Winkelsumme im Dreieck größer als zwei
Rechte, so schneiden sich je zwei Gerade einer Ebene in einem eigent-
lichen Punkte.
Für diesen Satz ist die Meßbarkeit notwendige Voraussetzung.
Beweis: Nach 38 genügt es zu zeigen (s. Fig.), daß sich in
einer Ebene zwei Lote [AA], [BB] einer Geraden [AB] in einem
eigentlichen Punkte schneiden. Es sei A₁ der Schnittpunkt des in
A
B
A"
B
A
2
A auf [AB] und des in B₁
As auf [BB] errichteten Lotes,
B1 B2
B
=
=
und es sei BB
B2 B3 = usw., [A, B], [A3B3],
.1 [BB₁], A2, A3,
auf [AA₁]. Die Punkte A1,
A2, A3,... sind eigentlich; denn
existieren überhaupt uneigent-
liche Punkte, so ist der Be-
griff „Strecke" eindeutig bestimmt, und macht man B₁A₁ = BA und
inzident B₁A₁, so ist B₁₁ > B₁A₁, also, da A₁ eigentlich ist, und
A₁ zwischen A₁ und B₁ liegt, auch A₁ eigentlich; ebenso A2, A3 usw.
Jetzt sei [A'A₁A"] | [A₁B₁], A' auf [AB] und A" auf [A, B], so
sind ebenso A', A" eigentlich.
Nun ist AB > A₁ B₁ > A, B₂ > usw. und es ist AB - AB₁ <
AB - A'B d. h. <AA', und A₂ A" = A" B2 - A₂ B₂ < A₁ B₁ — А, В,.
Zeigen wir also, daß z. B. AA' <A,A" ist, so folgt AB - A₁B₁ <
A₁B₁ - A2 B2, ebenso A₁ B₁ – A2 B₂ < A2 B2 - A3 B3, usw. Existiert
also eine ganze Zahl n so, daß
ist, so ist auch
2
n(AB - A₁ B₁) > AB
(AB-A₁ B₁) + (A₁ B₁ – A₂ B₂) ++ (AnBn - An+1Bn+1) > AB,
woraus wie in 58 die Existenz eines eigentlichen Schnittpunktes folgt.
Nun ist (s. Fig.) in der Tat AA' <A₂A", denn nach 69 liegt
in dem Dreieck A'A A₂ dem
größeren Winkel A'AA₂ >
A'A. A die größere Seite
A"A₂ > AA' gegenüber.
Zwischen diesen Winkeln
A A
A'=A"
findet aber die behauptete Größenordnung (s. die erste Fig.) BAA
> B₁A₁ A₂ und allgemein
Bk-1A-1A > BkAkAk+1
statt; denn es ist