Art. 51-57.
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ADE~ GFB(AD=GF, AE = GB,
AFB (HD = AF, ED = BF, LHDE
AB,
=
AB=BA, AG = EB),
ED = BF), also HDE
= LAFB), also HE
LAHE = LHEB
1 Rechten,
AHE ABE, also die Winkel-
summe in ABE=2 Rechten.
=
54. Satz: In der Euklidischen
Geometrie, wo auf jeder Geraden
genau ein uneigentlicher Punkt
liegt, beträgt die Winkelsumme im
Dreieck zwei Rechte.
H
A
G
D
F
E
B
C
Beweis: Ist (s. Fig.) [CB] [AB], [DA] ⊥[AB], so schneidet
(wegen 38) [DA] die Gerade [BC] in dem uneigentlichen Punkte von
[BC]. Ist noch [CD] | [BC], [DE] | [CD], so
muß auch [DE] durch den uneigentlichen Punkt 4
D
E
von [BC] gehen, also mit [AD] übereinstimmen,
also ist ADC ein Rechter, also (s. 53) die Win-
kelsumme des Dreiecks ABC, also jedes Dreiecks
gleich zwei Rechten.
55. Definition: Die Menge der Endpunkte
gleich langer Lote einer Geraden und in einer Ebene
der Geraden heißt eine Abstandskurve der Geraden.
B
C
56. Satz: Beträgt die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte,
so ist jede Abstandskurve einer Geraden & eine Gerade Ď, und eine
Abstandskurve von H ist G.
Beweis: (s. Fig. zu 53). Es ergab sich AB = CD = EH senk-
recht [BC] und [AD] und A, D, H in einer Geraden, B, C, E in
einer Geraden.
57. Satz: Beträgt die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte
und nennt man zwei Gerade, von denen jede eine Abstandskurve der
andern ist, parallel, dann gelten die Sätze: sind zwei Gerade einer
dritten parallel, dann sind sie einander parallel; parallele Gerade
bilden mit jeder sie schneidenden Geraden gleiche Winkel; durch
jedén Punkt P gibt es zu jeder Geraden & genau eine Parallele.
به
Beweis: Sind in einer Ebene A₁ A = B₁ B auf [AB] senkrecht und
in derselben oder einer andern Ebene A, A = B2B auf [AB] senkrecht,
ist aber dabei ([A₁B₁][AB]), ([A,B₂][AB]) nicht der Mittelpunkt
von AB, so ist A A1 A2 BBB₂, A₁ AB≃ B₁BA, also A1 A2 = B₁ B2,
AB₁ = BA₁, ebenso AB₂ = BA₂. Ferner sei [A₁A'] 1 [AA₂], A' auf
[AA], BB' = AA', B' auf [BB2], also AA₁A' ≃ BBB', und
[A₁A'] {ABA₂), also [A'B2], ebenso [B₁B'] ⊥ [B'A₂], und