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IV. Affine Geometrie.
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selbst, I, Jo sich selbst, also wegen IJPQ IJPQ, Q und eben-
so R sich selbst, also [OQ]=[IJ'] und [OR]=[JI'] sich selbst, also
I dem J' und J dem I', also ist Winkel AB ~ B'A', also (wegen
165) AB ~ A'B'.
167. Definition: Kongruente Winkel heißen gleich. Der Winkel
AB heißt kleiner als der Winkel AC, und AC größer als AB, wenn
der Punkt (B[IJ]) eigentlich ist; I, J Grenzpunkte von A, C. Jeder
nicht gestreckte Winkel heißt kleiner als jeder gestreckte.
168. Satz: Sind zwei Winkel einem dritten gleich, so sind sie
einander gleich.
Beweis folgt aus 152, 167.
169. Satz: Zwischen irgend zwei Winkeln &, G'H' besteht
eine und, nur eine der drei Beziehungen:
GH = G'H', GH>G'H', GH< G´H',
und es folgt aus
stets
GH <G'H', G'H' <G″H″
GH < G″H″.
GH G’H'.
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C,
Beweis: Es sei (162) AB = GH, AC' G'H'; ist jetzt B =
so setzen wir GH = G'H'; ist BC und B eine Halbgerade des
Winkels AC, so setzen wir <G'H'; ist C eine Halbgerade des
Winkels AB, so setzen wir > 'H'. Die beiden letzten Fälle
können nie zugleich eintreten. Denn sei (AB) = 0, ferner I, I, J die
Grenzpunkte von A, B, C, D=(B[LJ]), E=(C[LI]), [UV] die
Grenzgerade von I, U auf B und V auf C. Ist AB < AC, so folgt,
weil D eigentlich ist, die Reihenfolge ODIU und daraus diese OJEV,
also ist E uneigentlich, also AC > AB, und umgekehrt.
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Ist auch A'B' GH, A'C' – G'H', C' in A'B'), so folgt (168)
A'B' = AB, A'C' AC. In einer Affinität, in welcher dem Punkte
(AB) der Punkt (A'B'), der Halbgeraden A die Halbgerade ', der
Halbebene AB} die Halbebene 'B'} entspricht, entsprechen nach
160 wegen AB = A'B' und AC = A'C' auch der Geraden B die
Gerade B', der Geraden C die Gerade C'. Ist nun erstens AB
also BC, so folgt
A'B' - AB AC — A'C'.
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=
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-
AC,
Ist zweitens AB < AC, also D = (B[J]) eigentlich, und sind
I, J', D' die den Punkten I, J, D entsprechenden Punkte, so ist
auch D'
(B'[L'J']) eigentlich, d. h. A'B′ < A'C'.
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Ist noch "5" AD, D in AB}, und AB < AC, AC< AD,
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