Art. 155-160.
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finität, in welcher A, B, C, U den A', B', C', U' entsprechen, daß
auch A'C', B'U' getrennt sind, d. h. B' zwischen A', C' liegt, d. h.
PQ<P'Q' ist.
Ist noch P"Q" = AD auf derselben Halbgeraden, so folgen aus
PQ<P'Q', P'Q'<P"Q" die Reihenfolgen ABCU, ACDU und
aus diesen (nach III 14 S. 147) die Reihenfolge ABDU, d. h. B
zwischen A, D, d. h. PQ <P"Q", was zu beweisen war.
158. Definition: Ist PQ = AB, RS = BC und B zwischen
A und C, so heißt AC die Summe der Strecken PQ, RS. Diese
Definition ist zulässig, da sie unabhängig von der Wahl der Halb-
geraden AB] ist; denn es besteht der Satz:
159. Satz: Summen resp. gleicher Strecken sind gleiche Strecken.
Beweis: Sei AB=A'B', BC = B'C', ferner B zwischen A, C,
und B' zwischen A', C'. In einer Affinität, in welcher dem Punkte
B der Punkt B', der Halbgeraden BA] die Halbgerade B'A'], der
Halbgeraden BC] die Halbgerade B'C'] entspricht, wird wegen
BA = B'A', BC = B'C' (nach 153) dem Punkte A der Punkt A',
dem Punkte C der Punkt C' entsprechen, also A'C' = AC sein, was
zu beweisen war.
160. Satz: Die Strecken bilden eine linear geordnete Gruppe,
deren Komposition assoziativ und, falls der Pascalsche Satz gilt, kom-
mutativ ist; die Strecken AA und keine anderen sind als Null an-
zusehen.
Beweis folgt aus den vorstehenden Sätzen bis auf die Gültig-
keit des assoziativen und des kommutativen Gesetzes. Das assoziative
Gesetz folgt aus:
(AB+BC)+CD = AC + CD=
AD = AB + BD = AB +
(BC+CD),
das kommutative Gesetz aus folgen-
dem. Sei AB=B'C', BC = A' B'
(s. Fig.), B zwischen A, Ç, und B'
zwischen A', C'; ([AB][A' B']) = I
ein Grenzpunkt, J der andere Grenz-
punkt von [AB], J' der andere
Grenzpunkt von [A'B']. Aus AB=
B'C' folgt IABJ = IB'C' J' also
([AB'][BC']) auf [JJ']; aus BC
=
A'B' folgt IBCJ = IA' B' J',
IA'
J
C
B
A
J'
B
C
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